6．如图.F为双曲线C:的右焦点.P为双曲线C右支上一点.且位于x轴上方.M为左准线上一点.为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形.|PF|=l|OF|. (Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与l的关系——青夏教育精英家教网—

6．如图.F为双曲线C:的右焦点.P为双曲线C右支上一点.且位于x轴上方.M为左准线上一点.为坐标原点.已知四边形OFPM为平行四边形.|PF|=l|OF|. (Ⅰ)写出双曲线C的离心率e与l的关系式, (Ⅱ)当l=1时.经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A.B点.若|AB|=12.求此时的双曲线方程. [专家解答] ∵四边形是€.∴. 作双曲线的右准线交PM于H.则. 又. . (Ⅱ)当时....双曲线为四边形是菱形.所以直线OP的斜率为.则直线AB的方程为.代入到双曲线方程得:. 又.由得:.解得.则.所以为所求. ★★★高考要考什么 [考点透视] 椭圆.双曲线.抛物线的定义.标准方程.简单的几何性质.椭圆的参数方程. [热点透析] 主要题型: (1)定义及简单几何性质的灵活运用, (2)求曲线方程(含指定圆锥曲线方程及轨迹方程). 题型一般为二小一大.小题基础灵活.解答题一般在中等难度以上.一般具有较高的区分度. ★★★突破重难点 [范例1]过椭圆左焦点F.倾斜角为60°的直线交椭圆于A.B两点.若|FA|=2|FB|.则椭圆的离心率为( B ) (A) (B) (C) (D) 解:设点A.B到椭圆左准线的距离分别为d1.d2.|FA|=r1.|FB|=r2. 则=e.即d1=.同理d2=.两式相减得. 因为直线AB的倾斜角为60°. \ 2|d1-d2|=|AB|=3r2.e= [点晴]本题的关键在于利用椭圆的第二定义将60°倾斜角.|FA|=2|FB|这两个条件与椭圆的离心率建立联系. [文]若F1.F2为双曲线的左.右焦点.O为坐标原点.点P在双曲线的左支上.点M在双曲线的右准线上.且满足: . 则该双曲线的离心率为( ) A． B． C． D．3 解:由知四边形F1OMP是平行四边形.又知OP平分∠F1OM.即F1OMP是菱形.设|OF1|=c.则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a. ∴|PF2|=2a+c. 由双曲线的第二定义知,且e>1.∴e=2.故选C. [范例2]定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动.AB中点为M.求点M到x轴的最短距离. 分析:(1)可直接利用抛物线设点.如设A(x1.x12).B(x2.x22).又设AB中点为M(x0,y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式.用函数思想求出最短距离. (2)M到x轴的距离是一种“点线距离 .可先考虑M到准线的距离.想到用定义. ① ② ③ 解法一:设A(x1.x12).B(x2.x22).AB中点M(x0.y0) 则由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9. 即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②.③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 ∴. ≥ 当4x02+1=3 即时.此时法2:如图 ∴. 即. ∴. 当AB经过焦点F时取得最小值. ∴M到x轴的最短距离为 [点晴]解法一是列出方程组.利用整体消元思想消x1.x2.从而形成y0关于x0的函数.这是一种“设而不求的方法.而解法二充分利用了抛物线的定义.巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离.再利用梯形的中位线.转化为A.B到准线的距离和.结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁时.两边之和等于第三边)的属性.简捷地求解出结果的.但此解法中有缺点.即没有验证AB是否能经过焦点F.而且点M的坐标也不能直接得出.请思考:当|AB|在什么范围内取值时不能用解法二? [文]椭圆的两个焦点F1.F2.点P在椭圆C上.且PF1⊥PF2.| PF1|=.| PF2|=. (I)求椭圆C的方程, (II)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A.B两点.且A.B关于点M对称.求直线l的方程. 解法一:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上.所以.a=3. 在Rt△PF1F2中.故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2-c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)设A.B的坐标分别为(x1,y1).(x2,y2). 由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为. 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为A.B关于点M对称. 所以解得. 所以直线l的方程为即8x-9y+25=0. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为. 设A.B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且 ① ② 由①-②得 ③ 因为A.B关于点M对称.所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得＝.即直线l的斜率为. 所以直线l的方程为y-1＝(x+2).即8x-9y+25=0. (经检验.所求直线方程符合题意.) [范例3]如图1.已知A.B.C是长轴为4的椭圆上三点.点A是长轴的一个顶点.BC过椭圆中心O.且.. (1)建立适当的坐标系.求椭圆方程, (2)如果椭圆上两点P.Q使直线CP.CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形.是否总存在实数l 使?请给出证明. 解:(1)以O为原点.OA所在的直线为x轴建立如图直角坐标系.则A(2.0).椭圆方程可设为 . 而O为椭圆中心.由对称性知|OC|=|OB| 又.所以AC⊥BC 又.所以|OC|＝|AC|. 所以△AOC为等腰直角三角形.所以点C坐标为代入椭圆方程得.则椭圆方程为. (2)由直线CP.CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形.设直线CP的斜率为k.则直线CQ的斜率为-k.直线CP的方程为y=k(x-1).直线CQ的方程为y=-k(x-1).由椭圆方程与直线CP的方程联立.消去y得 (1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0① 因为C(1.1)在椭圆上.所以x＝1是方程①的一个根.于是同理这样.. 又B.所以. 即kAB=kPQ.所以PQ∥AB.存在实数l使. [点晴]利用斜率互为相反数关系.整体替换.可简化解题过程. [文]学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行的轨迹方程为.变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴. 为顶点的抛物线的实线部分.降落点为. 观测点同时跟踪航天器. (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程, (2)试问:当航天器在轴上方时.观测点测得离航天器的距离分别为多少时.应向航天器发出变轨指令? 解:(1)设曲线方程为. 由题意可知.. . 曲线方程为. (2)设变轨点为.根据题意可知得 . 或. . 得或. 点的坐标为.. 答:当观测点测得距离分别为时.应向航天器发出指令. [范例4]过抛物线x2=4y上不同两点A.B分别作抛物线的切线相交于P点. (1)求点P的轨迹方程, (2)已知点F(0.1).是否存在实数l使得?若存在.求出l的值.若不存在.请说明理由. 解法设由得: 直线PA的方程是即 ① 同理.直线PB的方程是: ② 由①②得: ∴点P的轨迹方程是得: . .所以故存在l=1使得解法∵直线PA.PB与抛物线相切.且 ∴直线PA.PB的斜率均存在且不为0.且设PA的直线方程是由得: 即即直线PA的方程是: 同理可得直线PB的方程是: 由得: 故点P的轨迹方程是得: . 故存在l=1使得 [点晴]抛物线的切线方程成了近几年高考试题中的一个考查亮点.解法一.解法二是解决抛物线切线问题的常用方法.应熟练掌握. [文]已知△ABC的两顶点A.B分别是双曲线2x2-2y2=1的左.右焦点, 且sinC是sinA.sinB的等差中项. (Ⅰ)求顶点C的轨迹T的方程, , 过点作直线l交轨迹T于M.N两点.问∠MPN的大小是否为定值?证明你的结论. 解:(Ⅰ) 由条件知A , B .且sinA + sinB = 2sinC ∴|BC| + |AC| = 2|AB| = 4 ∴点C的轨迹是以A.B为焦点.长轴长2a = 4的椭圆(不包括x轴上两点). ∴点C的轨迹T的方程是=1 (x≠±2) (Ⅱ) 当l⊥x轴时.直线l的方程为x =.代入=1解得M.N的坐标为().而|PE| =.∴∠MPN = 90°. 猜测∠MPN= 90°为定值. x = my 3x2 + 4y2 = 12 证明:设直线l的方程为my = x +. 由 .得 (3m2 + 4) y2 my= 0 ∴y1 + y2 =.y1 y2 = ∴= (x1 + 2 , y1)·(x2 +2 , y2 ) = (x1 + 2 ) (x2 +2) + y1 y2 = (my1 +) (my2 +) + y1 y2 = (m2 +1) y1 y2 +m (y1 + y2) + =(m2 +1)+m+= 0 ∴∠MPN = 90°.为定值. ★★★自我提升【查看更多】

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如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，。