6．设椭圆方程为.过点M(0.1)的直线l交椭圆于点A.B.O是坐标原点.点P满足.点N的坐标为.当l绕点M旋转时.求(1)动点P的轨迹方程,(2)的最小值与最大值. [专家解答](1)法1:直线l——青夏教育精英家教网—

6．设椭圆方程为.过点M(0.1)的直线l交椭圆于点A.B.O是坐标原点.点P满足.点N的坐标为.当l绕点M旋转时.求(1)动点P的轨迹方程,(2)的最小值与最大值. [专家解答](1)法1:直线l过点M(0.1)设其斜率为k.则l的方程为y=kx+1. ① 记A(x1,y1),B(x2,y2).由题设可得点A.B的坐标 (x1,y1). (x2,y2)是方程组 ② 的解. 将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0. 所以于是设点P的坐标为(x,y), 则消去参数k得4x2+y2-y=0 ③ 当k不存在时.A.B中点为坐标原点(0.0).也满足方程③. 所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二:设点P的坐标为(x,y).因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.所以 ④ ⑤ ④-⑤得. 所以当时.有 ⑥ 并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x2+y2-y=0 ⑧ 当x1=x2时.点A.B的坐标为.这时点P的坐标为 (0.0)也满足⑧.所以点P的轨迹方程为 (2)由点P的轨迹方程知所以故当.取得最小值.最小值为当时.取得最大值.最大值为 ★★★高考要考什么 [考点透视] 与圆锥曲线有关的最值和范围问题.因其考查的知识容量大.分析能力要求高.区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点. [热点透析] 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系, 求解法:利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组).通过解不等式组得出参数的变化范围, (3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数.一个适当的参数作为自变量来表示这个函数.通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. (4)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用.往往需要创造条件.并进行巧妙的构思, (5)结合参数方程.利用三角函数的有界性.直线.圆或椭圆的参数方程.它们的一个共同特点是均含有三角式.因此.它们的应用价值在于: ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标, ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值.范围等问题, (6)构造一个二次方程.利用判别式D³0. ★★★突破重难点 [范例1]已知动点P与双曲线的两个焦点F1.F2的距离之和为定值.且cosÐF1PF2的最小值为． (1)求动点P的轨迹方程, (2)若已知D(0,3).M.N在动点P的轨迹上且.求实数l的取值范围．讲解 (1)由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a().由余弦定理, 得．又·. 当且仅当|PF1|=|PF2|时.|PF1|·|PF2| 取最大值. 此时cosÐF1PF2取最小值.令. 解得a2=9..∴b2=4.故所求P的轨迹方程为. (2)设N(s,t).M(x,y).则由.可得(x.y-3) =l(s.t-3). 故x=ls.y=3+l(t-3). ∵M.N在动点P的轨迹上. 且. 消去s可得.解得. 又|t|£2.∴.解得. 故实数l的取值范围是． [点晴]为了求参数的取值范围.只要列出关于参数的不等式.而建立不等式的方法有多种方法.诸如:判别式法.均值不等式法.有界性法等等． [文]已知点M.N(2,0).动点P满足条件.记动点的轨迹为W. (Ⅰ)求W的方程, (Ⅱ)若A.B是W上的不同两点.O是坐标原点.求的最小值. 解:(Ⅰ)依题意.点P的轨迹是以M.N为焦点的双曲线的右支. 所求方程为: (x>0) (Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时.设直线AB的方程为x＝x0. 此时A(x0.).B(x0.-).＝2 当直线AB的斜率存在时.设直线AB的方程为y＝kx+b. 代入双曲线方程中.得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2＝0 依题意可知方程1°有两个不相等的正数根.设A(x1,y1),B(x2,y2).则解得|k|>1. 又＝x1x2+y1y2＝x1x2+(kx1+b)(kx2+b) ＝(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2＝>2 综上可知的最小值为2 [范例2]给定点A.已知B是椭圆上的动点.F是右焦点.当取得最小值时.试求B点的坐标. 解析:因为椭圆的.所以.而为动点B到左准线的距离.故本题可化为.在椭圆上求一点B.使得它到A点和左准线的距离之和最小.过点B作l的垂线.垂点为N.过A作此准线的垂线.垂点为M.由椭圆定义于是为定值其中.当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立.此时B为所以.当取得最小值时.B点坐标为 [点晴]在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时.常常用圆锥曲线的定义化折为直.是一种简便而有效的好方法. [文]点A(3.2)为定点.点F是抛物线y2=4x 的焦点.点P在抛物线y2=4x上移动.若|PA|+|PF| 取得最小值.求点P的坐标. 解:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1. 设P到准线的距离为d.则|PA|+|PF|=|PA|+d. 要使|PA|+|PF|取得最小值.由图3可知过A点的直线与准线垂直时.|PA|+|PF|取得最小值.把y=2 代入y2=4x.得P(1.2). [范例3]已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动.Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值. 解:故先让Q点在椭圆上固定.显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大.因此要求|PQ|的最大值.只要求|O1Q|的最大值.设Q(x.y).则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ② 将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动.所以-1£y£1.故当时. 此时 [点晴]1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关, 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

设椭圆方程为，过点M(0，1)的直线交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，点P满足，点N坐标为(，)．