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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分6分，请在下列两个小题中，任选其一完成即可）
    （1）解方程：x2+3x-2=0；
    （2）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格纸中建立直角坐标系，△ABC各顶点的坐标为：A（-5，4）、B（-1，1）、C（-5，1）．
    ①将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B′C′；
    ②写出A′点的坐标．

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    加试题（本小题满分20分，其中（1）、（2）、（3）题各3分，（4）题11分）
    （1）一个正数的平方根为3-a和2a+3，则这个正数是
    81
    81

    （2）若x2+2x+y2-6y+10=0，则xy=
    -1
    -1

    （3）已知a，b分别是6-
    		13
    的整数部分和小数部分，则2a-b=
    		13
    		13

    （4）阅读下面的问题，并解答问题：
    1）如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数是多少？（请在下列横线上填上合适的答案）
    分析：由于PA，PB，PC不在同一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转到△ACP′处，此时可以利用旋转的特征等知识得到：
      ①∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C；
      ②AP=AP′，且∠PAP′=
    60
    60
    度，所以△APP′为
    等边
    等边
    三角形，则∠AP′P=
    60
    60
    度；
      ③P′C=BP=4，P′P=AP=3，PC=5，所以△PP′C为
    直角
    直角
    三角形，则∠PP′C=
    90
    90
    度，从而得到∠APB=
    150
    150
    度．
     2）请你利用第1）题的解答方法，完成下面问题：
    如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为边BC上的点，且∠EAF=45°，试说明：EF2=BE2+FC2．

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    （本小题满分14分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10.点

    E在下底边BC上，点F在腰AB上.

    （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

    （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

    （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.

     

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    (本小题满分12分)

       如图，在平面直角坐标系中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知，，△ABC的面积，抛物线

    经过A、B、C三点。

       1.(1)求此抛物线的函数表达式；

       2.(2)设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

       3.(3)在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

     

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    (本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

    (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

    (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．

    求证：S1∶S2＝1∶3；

    (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

     

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    一、填空题：

    1．60°．

    2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

    3．1；

    4.4。

    5.60

    7．2－2     

    8.15。

    9.5

    10.4

    11.5

    12. 2,3,n。

    14．

     

    15. (-8,0)。

     

    16.6。

    17. .平行四边形。

    18.60

    19．4，12           

    二、选择题：

    1．C

     

    2．C

    3.B

    4.B

     

    5.B

    6.A

     

    7.C。

     

    8.B。

     

    9.C

     

    10.D

     

     

    11.C。

     

    12.B

    13.B　

    14.C　

    15.D

    16. C

    17．C   

    18．D    

    19.D

    20.C

    21.D

    22.D。

    三、解答题：

    1．（1）如图答2，因为AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

    所以四边形ABCD为平行四边形．---------------------------------------------------------------- 3分

    分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为点E、F．

    则BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

    因为∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

    所以AD = AB．            

    所以四边形ABCD为菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

    （2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

    ① 当∠DAB = 90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；---------------------------8分

    ② 当AC为矩形纸片的对角线时，设AB = x，如图答3，在Rt△BCG中，

    ，．所以周长最大值为17．-------------------------------------------9分

              

     

     

                                                                                                     

     

     

     

     

     

     

     

     

      2．证明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

                  证得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

              证得：四边形AECF是平行四边形------------------------------------------------5′

    　　　    由AC⊥EF可知：四边形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

     

     

    5．（本题满分8分）

    解：（1）方法一：如图①

    ∵在□ ABCD中，AD∥BC

    ∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

    ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC

    ∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

    ∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

    即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

    ∴∠AMB＝90°

    ∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

    图②

     

     

     

     

     

     

    方法二：如图②,延长BC、AE相交于点P     

    ∵在□ABCD中，AD∥BC

    ∴∠DAP＝∠APB                                               …………………………1分

    ∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAP＝∠PAB                                               …………………………2分

    ∴∠APB＝∠PAB

    ∴AB＝BP                                                                   ………………………3分

    ∵BF平分∠ABP

    ∴:AP⊥BF

    即AE⊥BF．                                                            ………………………4分

    (2)方法一：线段DF与CE是相等关系，即DF＝CE     ………………5分

    ∵在□ABCD中，CD∥AB

    ∴∠DEA＝∠EAB

    又∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAE＝∠EAB

    ∴∠DEA＝∠DAE

    ∴DE＝AD                                         ………………………6分

    同理可得，CF＝BC                               ………………………7分

    又∵在□ABCD中，AD＝BC

    ∴DE＝CF

    ∴DE－EF＝CF－EF

    即DF＝CE．                                         ………………………8分

    方法二：如右图,延长BC、AE设交于点P，延长AD、BF相交于点O       …5分

    ∵在□ABCD中，AD∥BC

    ∴∠DAP＝∠APB                                                   

    ∵AE平分∠DAB

    ∴∠DAP＝∠PAB                                                  

    ∴∠APB＝∠PAB

    ∴BP＝AB

    同理可得，AO＝AB                 

        ∴AO＝BP                                   ………………………6分

            ∵在□ABCD中，AD＝BC

            ∴OD＝PC

     又∵在□ABCD中，DC∥AB

           ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分

           ∴＝，＝

           ∴DF＝CE．                                                                     ………………………8分

     

    6.　（1）（2）略　　　（3）设BC=x，则DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x

    GD2=GE?GB=4－2      DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）

    （4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面积是4个平方单位

     

     

    7．（本小题满分5分）

    证明：∵  AB∥CD

    ∴                …………1分

    ∵ 

    ∴  △ABO≌△CDO                 …………3分

    ∴                      …………4分

    ∴  四边形ABCD是平行四边形       …………5分

     

     

     

     

     

    11．证明：（1）①在和中，

    ，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ②，

    ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    ，

     

    12．（本题7分）

    解：（1）在梯形中，，

    ，，

    ，

    ．

    ，

    ，

    ．

    ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ，，

    ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    与的函数表达式是

    ；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    （2）

    ．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    当时，有最大值，最大值为．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

     

     

     

    13．证明：菱形中，．???????????????????? 1分

    分别是的中点，

    ．?????????????????? 3分

    又，．????????????????? 5分

    ．??????????????????????????????? 7分

    14.

    15．证明：四边形是平行四边形，，．

    ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

    平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    ．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

     

    16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    （2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    17．解：（1）正方形中，，．

    又，因此，即菱形的边长为．

    在和中，，

    ，，

    ．．

    ，，

    ，即菱形是正方形．

    同理可以证明．

    因此，即点在边上，同时可得，

    从而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    （2）作，为垂足，连结，

    ，，

    ，．

    ．

    在和中，，，

    ．

    ，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2．

    因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

    （3）若，由，得，此时，在中，．

    相应地，在中，，即点已经不在边上．

    故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，

    当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为．

    此时，，故．

    而函数的值随着的增大而减小，

    因此，当时，取得最小值为．

    又因为，所以，的面积不可能等于1．????????????????????? 9分

    18.

    19．证明：在等腰中，，．

    　　　　　，，．又，

    　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    　　　　　．．

    　　　　　．．．?????????????????? 5分

    　　　　　又不平行，四边形是梯形．??????????????????????????????????? 7分

    　　　　　四边形是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

     

    20．解：（1）在矩形中，，，

    ．……………………1分

    　　　　，．

    　　　　，即，

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