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    (本小题满分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为(0°＜＜180°)，得到△A1B1C．

    (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

    (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．

    求证：S1∶S2＝1∶3；

    (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当等于多少度时，EP的长度最大，最大值是多少？

     

    见解析

    解析:（1）∵AB∥CB′，

    ∴∠B=∠BC B′=30°，

    ∴∠A′CD=60°，

    又∵∠A′=60∠，

    ∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，

    ∴△A′CD是等边三角形；

    （2）在Rt△ACB中∠ABC=30°

    ∴AC:BC=1:

    又∵旋转角度为θ

    ∴∠ACA'=∠BCB'

    又∵将△ABC旋转到△

    ∴AC=A'C   CB=CB'

    ∴AC:BC=A'C:B'C=1:

    ∴△ACA'∽△BCB'

    ∴S1∶S2＝

    （3）（3）当E,C,P三点在一条直线上时取得最大值，即旋转120°，EP==.

     

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    【小题2】（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A1B1C1
    与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大
    后的△A1B1C1；（所画△A1B1C1与△ABC在点P同侧）；
    【小题3】（3）经过A1、B1、C1三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平
    移得到？请说明理由。

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    （本小题满分10分）
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    的数量关系和位置关系；
    【小题2】（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到
    图2，其中AO = OB．
    求证：AC = BD，AC ⊥ BD；
    【小题3】（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到
    图3，求的值．

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