设函数f(x)=x³-kx²+x(k∈R).

(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间.

(2)当k<0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

（09年东城区示范校质检一文）（14分）

设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，y∈R，有成立，数列满足，且（n∈N^*）

   （Ⅰ）求证：是R上的减函数；

   （Ⅱ）求数列的通项公式；

   （Ⅲ）若不等式对一切n∈N^*均成立，求k的

最大值．

已知．

（１）求的单调区间；

（２）证明：当时，恒成立；

（３）任取两个不相等的正数，且，若存在使成立，证明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

当k0时，>0，所以函数g(x)的增区间为（0，+），无减区间；

当k>0时，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增区间（k,+）减区间为（0，k）（3’）

(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时，h(x),的变化情况如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

（09年东城区示范校质检一）（本小题满分14分）

设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，y∈R，有成立，数列满足，且（n∈N^*）

   （Ⅰ）求证：是R上的减函数；

   （Ⅱ）求数列的通项公式；

   （Ⅲ）若不等式对一切n∈N^*均成立，求k的

最大值．

设函数定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.数列{a_n}满足a₁=f(0)，且f()=.问：是否存在正数k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并证明，否则说明理由.