题目列表(包括答案和解析)
(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分8分，第3小题满分7分．
已知抛物线
（
且
为常数），
为其焦点．
（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于
两点，且
，求直线
的斜率；
（3）若线段
是过抛物线焦点的两条动弦，且满足
，如图所示．求四边形
面积的最小值
．
已知抛物线
（
且
为常数），
为其焦点．
（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于
两点，且
，求直线
的斜率；
（3）若线段
是过抛物线焦点的两条动弦，且满足
，如图所示．求四边形
面积的最小值
．
某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：
．
我校某同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”来庆祝数学学科节的成功举办.其中
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
（1）求抛物线方程；
（2）当“蝴蝶形图案”的面积最小时求
的大小.
已知
是过抛物线
焦点的弦，
，则中点的横坐标是
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
A
B
C
D
C
D
二、填空题
13．2 14．
15．60 16．③④
三、解答题
17．解：（1）
，
（2分）
又
（4分）
. （6分）
（2）
（8分）
（10分）
18．（1）证明：连结
交
于点
，取
的中点
，连结
，则// 
且
依题意，知
且
，
，且
，
故四边形
是平行四边形，
，即
（4分）
又
平面
，
平面， （6分）
（2）延长
交
的延长线于
点，连结
，作
于
点，连结
．
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面，
∴
平面
，
由三垂线定理，知
，故
就是所求二面角的平面角．（8分）
∵平面平面，平面平面
平面，故
就是直线与平面成的角， （10分）
知
设
，则
．
在
中：
在
中：由
，
，知
故平面与平面所成的锐二面角的大小为45°． （12分）
19．解：（1）记
表示事无偿援助，“取出的2伯产吕中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”。则、互斥，且
故
依题意，知
又
，得
（6分）
（2）若该批产品有100件，由（1）知，其中共有二等品100×0．2=20件
记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则事件
与事件互斥，
依题意，知
故
（12分）
20．解：（1）
在
上单调递增，
上单调递减，
有两根，2，
（6分）
（2）令
则
因为
在
上恒大于0，
所以
，在上单调递增，故
（12分）
21．（1）依题意，知
由
，得
故
，得
4分
（2）依题意，知
由
，得
即
，得
8分
（3）由
、
是相互垂直的单位向量，
知，
得
记数列
的前
项和为
，
则有
相减得，
故
12分
22．解：（1）设
依题意得
（2分）
消去
，
，整理得
． （4分）
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆． （6分）
（2）当
时，方程为
设直线
的方程为
（8分）
消去得
（10分）
根据已知可得
，故有
直线的斜率为
（12分）
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