已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，如图，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足：|

OA

|，|

OB

|，|

OF

|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P
（1）求证：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

．
（2）若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E、D，求双曲线离心率e的取值范围．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b1

=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c＞0），右准线为l：x=

1

2

，|AF|=3，过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若

OP

•

OQ

=-17，求△PBQ的面积S；
（Ⅲ）若

PF

=λ

FQ

（λ≠0，λ≠-1），问是否存在实数μ=f（λ），使得

AM

=μ•

MQ

，若存在，求出μ=f（λ）的表达式；若不存在，请说明理由．

已知双曲线C的渐近线方程为y=±

3

x，右焦点F（c，0）到渐近线的距离为

3

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：

|AB|

|FD|

为定值．