如图.在长方体中. .. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在长方体中,.写出四点的坐标.

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如图,在长方体中,分别为的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面. 

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如图,在长方体中,的中点.

(Ⅰ)求证:平面

 

(II)求二面角的余弦值.

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如图,在长方体中,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

 

 

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如图,在长方体中,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求平面把长方体 分成的两部分的体积比.

 

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一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的.

(1) 函数=lg(x2-2x-3)的定义域是集合M,函数的定义域是集合P,则P∪M等于    ( A )

           (A)(-∞,-1)∪[1,+∞)                (B)(-∞,-3)∪[1,+∞)

(C)(-3,+∞)                                    (D)(-1,+∞)

(2) 在等比数列{an}中,a1=3,a6=24,则a16等于   ( D )

(A)864                 (B)1176                   (C)1440                   (D)1536

(3) 直线关于直线对称的直线方程是   ( A )

(A)                              (B)

(C)                                     (D)

(4) 若平面α⊥平面β,l,m,n为两两互不重合的三条直线,,α∩β=l,且m⊥n,则   ( D )

(A)且n∥l                                     (B)或n∥l     

(C)                                     (D)

(5) △ABC中,若,则△ABC一定是   ( C )

(A)锐角三角形     (B)钝角三角形        (C)直角三角形        (D)等腰三角形

(6) 函数在区间(-2,2)上    ( B )

(A)单调递增                                           (B)单调递减

(C)先单调递增后单调递减                      (D)先单调递减后单调递增

(7) 如图,已知A,B,C是表面积为48π的球面上的三点,

AB=2,BC=4,∠ABC=60°,O为球心,则二面角

O-AB-C的大小为    ( D )                                        

(A)                  (B)

(C)arccos        (D)arccos

 

(8) 一圆形纸片的圆心为O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点,把纸片折叠使点A与点Q重合,然后抹平纸片,折痕CD与OA交于P点,当点A运动时点P的轨迹是   ( A )

(A)椭圆                      (B)双曲线               (C)抛物线               (D)圆

(9) 方程的解共有   ( C )

(A)1个             (B)2个           (C)3个           (D)4个

(10)如图,某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架(由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成).一建筑工人从

A点沿脚手架到点B,每步走1个单位长度,

且不连续向上攀登,则其行走的最近路线共

有   ( B )

(A)150条                  (B)525条

(C)840条          (D)1260条

 

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上

(11)不等式的解集为          .答案:

(12)函数的最小正周期T=           .答案:π

(13)过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于      .答案:2

(14)已知O是△ABC内一点,,则△AOB与△AOC的面积的比值为        

       答案:

(15)在的二项展开式中,所有有理项之和为S,当x=2时,S等于     .答案:2048

(16)已知集合A={(x,y)│|x|+|y|=2,x,y∈R},B={(x,y)│|xy|=a,x,y∈R},若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点,则正数a的值为     ▲     .答案:

 

三、解答题:本大题共5小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分14分)

袋中装有20个不同的小球,其中有n,n>1)个红球,4个蓝球,10个黄球,其余为白球.已知从袋中取出3个颜色相同的彩球(不是白球)的概率为

(Ⅰ)求袋中的红球、白球各有多少个?

(Ⅱ)从袋中任取3个小球,求其中一定有红球的概率.

解:(Ⅰ)设“从袋中任取3球全为红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3 球全为黄球”分别为事件A,B,C,由题意知,A,B,C两两互斥,则

.  …………………………………………4分

故从袋中取出成3个都是相同颜色彩球(不是白球)的概率为

. …………………………………………………6分

由此得从袋中取3球不可能全为红球,从而.又,n>1,故

答:袋中有2个红球4个白球. …………………………………………………………8分

         (Ⅱ)设“从袋中任取3个小球,其中一定有红球”为事件D,则

答:从袋中任取3个小球,一定有红球的概率为.………………………………14分

(18)(本小题满分14分)

如图,在长方体中,

,M为AB的中点,EF分别为和AD1的中点.

(Ⅰ)求证:直线EF⊥平面

(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.

解法一:(Ⅰ)延长AE交A1B1于点N,则点N为A1B1的中点.

连D1N,∵E,F分别是A1M,AD1的中点,

∴EF∥D1N.…………………………………………………………………………2分

在Rt△A1C1D1与Rt△ND1A1中,∵

∴Rt△A1C1D1∽Rt△ND1A1,∴A1C1⊥D1N.………………………………………4分

又AA1⊥D1N,A1C1∩AA1=A1,∴D1N⊥平面AA1C1C.…………………………6分

(Ⅱ)过点A1作A1H⊥AN,垂足为H,连D1H.由三垂线定理,得 D1H⊥AN,

∴AN ⊥平面A1D1H,∴平面A1D1 H⊥平面AEF.

∴A1D1在平面AEF中的射影即为D1H,

∠A1D1H就是A1D1与平面AEF所成的角.………………………………………10分

在Rt△AA1N中,AA1=2,A1N=,∴A1H=

tan∠A1D1H=,故直线A1D1与平面AEF所成的角为arctan

∵AD∥A1D1,∴直线AD与平面AEF所成的角为arctan.…………………14分

解法二:(Ⅰ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴建立空间坐标系.

则A(0,0,0),B(,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,2),

B1,0,2),C1,1,2),D(0,1,2). 

=(0,0,2),=(,1,0).

又M(,0,0),E(,0,1),F(0,,1),

=(-,0). ………………………………………………………3分

?=(-,0)?(0,0,2)=0,

?=(-,0)?(,1,0)=0,∴

又A1C1∩AA1=A1,∴EF⊥平面AA1C1C.………………………………………6分

(Ⅱ)设向量n=(1,x,y)是平面AEF的一个法向量.

由(Ⅰ),可得=(-,0,1),=(0,,1). ………………8分

?n=0,?n=0,得  解之,得

故n=(1,,-). ……………………………………………………11分

设直线AD与平面AEF所成的角为α,则sinα=

所以设直线AD与平面AEF所成的角为arcsin.…………………………14分

(19)(本小题满分14分)

将圆按向量a=(-1,2)平移后得到⊙O,直线l与⊙O相交于A、B两点,若在⊙O上存在点C,使 =λa,求直线l的方程及对应的点C的坐标.

解:圆化为标准方程为

按向量a=(-1,2)平移得⊙O方程为 x2+y2=5.……………………………………2分

=λa,且||=||,∴∥a. ……………………5分

∴kAB.设直线l的方程为y=x+m,联立,得

将方程(1)代入(2),整理得5x2+4mx+4m2-20=0.(※) …………………………8分

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

        x1+x2=-,y1+y2=(-). ……………………………10分

因为点C在圆上,所以,解之,得

此时,(※)式中的△=16m2-20(4m2-20)=300>0.…………………………………12分

所求的直线l的方程为2x-4y+5=0,对应的C点的坐标为(-1,2);或直线l的方程为2x-4y-5=0,对应的C点的坐标为(1,-2).……………………………………14分

解法二:同解法一,得⊙O的方程.……………………………………………………2分

=λa,有||=|λa |,从而λ=±1.……………………………………………5分

(1)当λ=1时,=a=(-1,2),所以C(-1,2).从而OC的中点为M(-,1).

,可得点MAB上,又由

得直线的l的方程为,即.………………………………9分

(2)当λ=-1时,=-a=(1,-2),所以C(1,-2).

OC的中点为N(,-1).

同样由点NAB上,可得直线l方程为. ……………………………12分

所求的直线l的方程为2x-4y+5=0,对应的C点的坐标为(-1,2);或直线l的方程为2x-4y-5=0,对应的C点的坐标为(1,-2).……………………………………14分

(20)(本小题满分14分)

已知是定义在R上的函数,对于任意的实数a,b,都有,且

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的解析式().

解:(Ⅰ)令,则,从而.……………………2分

,可得.………………5分

(Ⅱ)

,则.…………………………………………………9分

两边同乘以,可以得到,即

故数列为公差为等差数列.  ……………………………………………12分

,可得

所以,即.   ……………………………………………14分

(21)(本小题满分14分)

设函数=x|x-a|+b.

(Ⅰ)求证:为奇函数的充要条件是a2+b2=0;

(Ⅱ)设常数b<2-3,且对任意x∈[0,1],<0恒成立,求实数a的取值范围.

解:(Ⅰ)充分性:若a2+b2=0时,即a=b=0,所以 f(x)=x | x|.

∵f(-x)=-x |-x|=-x |x|=-f(x),对一切x∈R恒成立,

∴f(x)是奇函数. ……………………………………………………………………2分

            必要性:若f(x)是奇函数,则对一切x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立,即

                    -x |-x-a|+b=-x |x-a|-b.

令x=0,得b=-b,所以b=0.………………………………………………………4分

再令x=a,得  2a | a |=0,∴a=0,即a2+b2=0.…………………………………6分

(Ⅱ)解法一:∵b<2-3<0,∴当x=0时,a取任意实数不等式恒成立,

故考虑x∈(0,1]时,原不等式变为 | x-a |<-,即 x+<a<x-

∴只需对x∈(0,1],满足 ………………………………8分

对(1)式,由b<0时,在(0,1]上,f(x)=x+为增函数,

∴(x+max=f(1)=1+b.

∴a>1+b.                               (3) ……………………………10分

对(2)式,当-1≤b<0时,在(0,1]上,x-=x+≥2

当x=时,x-=2,∴(x-min=2

∴a<2.                             (4)

由(3)、(4),要使a存在,必须有 即-1≤b<-3+2

∴当-1≤b<-3+2时,1+b <a<2.……………………………………12分

当b<-1时,在(0,1]上,f(x)=x-为减函数,(证明略)

∴(x-min=f(1)=1-b.

∴当b<-1时,1+b <a<1-b.

综上所述,当-1≤b<2-3时,a的取值范围是(1+b,2);当b<-1时,a的取值范围是(1+b,1-b).………………………………………………………14分

            解法二:f(x)=x|x-a|+b<0(x∈[0,1],b<2-3恒成立,即x|x-a|<-b.

由于b是负数,故x2-ax<-b,且x2-ax>b.

(1)x2-ax<-b在x∈[0,1],b<2-3恒成立,设g(x)= x2-ax+b,

其中(1),(3)显然成立,由(2),得a>1+b.(※)………………………………8分

(2)x2-ax-b>0在x∈[0,1],b<2-3恒成立,设h(x)= x2-ax-b,

即a<0.

结合(※),得b<-1时,1+b<a<0;-1≤b<2-3时,a值不存在.  ……9分

结合(※),得b<-1时,0<a≤2;-1≤b<2-3时,b+1<a<2.…11分

结合(※),得b<-1时,2<a<1-b;-1≤b<2-3时,a不存在.………12分

综上,得-1≤b<2-3时,b+1<a<2;b<-1时,b+1<a<1-b.…14分

 


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