已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=-1，设函数f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．

已知动点P(3t，t+1)(t≠0，t≠

1

2

)在角α的终边上．
（1）若α=

π

6

，求实数t的值；
（2）记S=

1-sin2α+cos2α

1-sin2α-cos2α

，试用t将S表示出来．

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=k（x-1），函数f（x）-g（x）其中一个零点为5，数列{a_n}满足a1=

k

2

，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求S{a_n}的最小值（用含有n的代数式表示）；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

已知抛物线y²=2x．
（1）在抛物线上任取二点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），经过线段P₁P₂的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P₃，证明△P₁P₂P₃的面积为

1

16

|y1-y2|3；
（2）经过线段P₁P₃、P₂P₃的中点分别作直线平行于抛物线的轴，与抛物线依次交于Q₁、Q₂，试将△P₁P₃Q₁与△P₂P₃Q₂的面积和用y₁，y₂表示出来；
（3）仿照（2）又可做出四个更小的三角形，如此继续下去可以做一系列的三角形，由此设法求出线段P₁P₂与抛物线所围成的图形的面积．

已知数列{a_n}满足a₁=

1

5

，且当n＞1，n∈N^*时，有

an-1

an

=

2an-1+1

1-2an

，
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中的任意两项a_m、a_k（m，k∈N*）的积a_m•a_k是否仍是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项（用m，k表示）；如果不是，请说明理由．