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    题目列表(包括答案和解析)

    9、12件瓷器中，有10件正品，2件次品，从中任意取出3件，有以下事件：
    ①3件都是正品；
    ②至少有1件是次品；
    ③3件都是次品；
    ④至少有1件是正品．
    其中随机事件是
    ①②
    ；必然事件是
    ④
    ；不可能事件是
    ③
    （填上相应的序号）．

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    12分）设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，a∈R，
    （1）若f（x）在x=3处取得极值，求实数a的值；
    （2）在（1）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

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    (12分）

    如图，三棱锥P―ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

    （Ⅰ） 求证：AB平面PCB；

    （Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；                                     

    (Ⅲ)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．  

                                                                                                                                                                          

                                                                              

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    (12分)某城市从南郊某地乘坐公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿过市区，路线较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分)服从正态分布N(50，102)；第二条路线沿环城公路走，路线较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布N(60，42)．

    (1)若只有70分钟可用，问应走哪一条路线？

    (2)若只有65分钟可用，又应走哪一条路线？

          [已知(Φ(3.9)=1.000，Φ(2)=0.9772，Φ(2.5)=0.9938，Φ(1.5)=0.9332，Φ(1.25)=0.8944]  

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    (12分)已知f(x)=－3x2＋a(6－a)x＋b．

    (1)解关于a的不等式f(1)＞0；

           (2)当不等式f(x)＞0的解集为(－1，3)时，求实数a、b的值．

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    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

    1．第二象限  2． 3   3．Π   4．   5． __ 6． 2  7．

    8．   9． 10  10.向右平移  11． 3.5  12.①④   13.  14.①③

    二、解答题：本大题共6小题，计90分.

    15．解：（1）．

    又，，即，

    ．

    （2），，

    且，

    ，即的取值范围是．

    16．（Ⅰ）证明:连结AF,在矩形ABCD中,因为AD=4,AB=2,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.  

    所以FD⊥平面PAF.  故PF⊥FD. 

    （Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,则EH//平面PFD,且 AH=AD.  再过H作HG//PD交PA于G,则GH//平面PFD,且 AG=PA.  所以平面EHG//平面PFD,则EG//平面PFD,从而点G满足AG=PA. 

    17．解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半

    径，则M在∠BOA的平分线上，

        同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N

    三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，

    ∵M的坐标为，∴M到轴的距离为1，即

    ⊙M的半径为1，

    则⊙M的方程为，

      设⊙N的半径为，其与轴的的切点为C，连接MA、MC，

      由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，

      则OC=，则⊙N的方程为；

    （2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙截得的弦

    的长度，此弦的方程是，即：，

    圆心N到该直线的距离d=，则弦长=．

    另解：求得B（），再得过B与MN平行的直线方程，圆心N到该直线的距离=，则弦长=．

    （也可以直接求A点或B点到直线MN的距离，进而求得弦长）

    18．解（1）由题意的中垂线方程分别为，

    于是圆心坐标为…………………………………4分

    =＞，即   ＞即＞所以＞ ，

    于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜………………8分

    （2）假设相切， 则，……………………………………………………10分

    ，………13分这与＜＜矛盾.

    故直线不能与圆相切. ………………………………………………16分

    19．解（Ⅰ）∵，

             ∴                               

    ∴，∴，令，得，列表如下：

    2

    0

    递减

    极小值

    递增

    ∴在处取得极小值，

    即的最小值为．              

    ，∵，∴，又，∴．                                        

    （Ⅱ）证明由（Ⅰ）知，的最小值是正数，∴对一切，恒有从而当时，恒有，故在上是增函数．

    （Ⅲ）证明由（Ⅱ）知：在上是增函数，

         ∴当时，，   又，                     

    ∴，即，∴

    故当时，恒有．

    20．解：（1）数列{an}的前n项和，

    …2分

    又，    …………4分

    是正项等比数列，，  …………6分

    公比，数列         …………8分

    （2）解法一：，

    由              …………11分

    ，当，       …………13分

    又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为2.…16分

    （2）解法二：令，11分

    由，

    函数……13分

    对于

    故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为2.……16分

     


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