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    [例1]求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程. 分析:由平面几何知识可知若直线a.b关于直线l对称.它们具有下列几何性质:(1)若a.b相交.则l是a.b交角的平分线,(2)若点A在直线a上.那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上.这时AB⊥l.并且AB的中点D在l上,(3)a以l为轴旋转180°.一定与b重合.使用这些性质.可以找出直线b的方程.解此题的方法很多.总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件.选择适当的直线方程的形式.求出直线方程,另一类是直接由轨迹求方程. 解得a与l的交点E.E点也在b上. 解:由 2x+y-4=0. 3x+4y-1=0. 方法一:设直线b的斜率为k.又知直线a的斜率为-2.直线l的斜率为-. 则=. 解得k=-.代入点斜式得直线b的方程为 y-(-2)=-(x-3). 即2x+11y+16=0. 方法二:在直线a:2x+y-4=0上找一点A(2.0).设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0.y0). 由 3×+4×-1=0. =. 解得B(.-). 由两点式得直线b的方程为 =.即2x+11y+16=0. 方法三:设直线b上的动点P(x.y)关于l:3x+4y-1=0的对称点Q(x0.y0).则有 3×+4×-1=0. =. 解得x0=.y0=. Q(x0.y0)在直线a:2x+y-4=0上. 则2×+-4=0. 化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程. 方法四:设直线b上的动点P(x.y).直线a上的点Q(x0.4-2x0).且P.Q两点关于直线l:3x+4y-1=0对称.则有 =. =. 消去x0.得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍). ◆提炼方法:1.方法一与方法二.除了点E外.分别找出确定直线位置的另一个条件:斜率或另一个点.然后用点斜式或两点式求出方程;2.方法三与方法四是利用直线上动点的几何性质.直接由轨迹求方程.在使用这种方法时.要注意区分动点坐标及参数. [例2].已知ΔABC中点A,AB边上的中线为:6x+10y-59=0,∠B的平分线为:x-4y+10=0,求BC边所在直线的方程. 解:设B(a,b),在∠B的平分线上,则a-4b+10=0 ① 又AB的中点在CM上,有: ② 解①,②得B(0,5).设∠B平分线交AC于点T. ∵, 由 ∴BC的方程为2x+9y-65=0. 法2:求A关于∠B的平分线对称的点A′,写出A′的方程即为所求(BC). [例3]已知点M(3.5).在直线:和y轴上各找一点P和Q.使的周长最小. 解:可求得点M关于的对称点为(5.1). 点M关于y轴的对称点为.则 的周长就是.连. 则直线与y轴及直线的交点P.Q即为所求. 直线的方程为.直线 与y轴的交点坐标为.由方程组 得交点.∴点.即为所求. ◆特别提示:注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用. [例4]已知长方形的四个顶点A(0.0).B(2.0).C(2.1)和D(0.1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后.依次反射到CD.DA和AB上的点P2.P3和P4.设P4的坐标为(x4.0).若1<x4<2.求tanθ的取值范围. 解:设P1B=x.∠P1P0B=θ.则CP1=1-x. ∠P1P2C.∠P3P2D.∠AP4P3均为θ. ∴tanθ==x. 又tanθ===x. ∴CP2==-1. 而tanθ====x. ∴DP3=x(3-)=3x-1. 又tanθ====x. ∴AP4==-3. 依题设1<AP4<2.即1<-3<2. ∴4<<5.>>. ∴>tanθ>. [研讨.欣赏]已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点.试求实数a的取值范围. 解法一:设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1.y1).Q(x2.y2).线段PQ的中点为M(x0.y0).设直线PQ的方程为y=x+b.由于P.Q两点存在.所以方程组有两组不同的实数解.即得方程 ax2-x-(1+b)=0. ① 判别式Δ=1+4a(1+b)＞0. ② 由①得x0==.y0=x0+b=+b. ∵M∈l.∴0=x0+y0=++b. 即b=-.代入②解得a＞. 解法二:设同解法一.由题意得 将①②代入③④.并注意到a≠0.x1-x2≠0.得 由二元均值不等式易得 2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2). 将⑤⑥代入上式得 2(-+)＞()2.解得a＞. 解法三:同解法二.由①-②.得 y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2). ∵x1-x2≠0.∴a(x1+x2)==1. ∴x0==.∵M(x0.y0)∈l. ∴y0+x0=0.即y0=-x0=-.从而PQ的中点M的坐标为(.-). ∵M在抛物线内部. ∴a()2-(-)-1＜0. 解得a＞.(舍去a＜0.为什么?) 【查看更多】

     

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    求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程。

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