例4.设函数. (1) 如果.点为曲线上一个动点.求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程, (2) 若时.恒成立.求的取值范围. 解:(1) 设切线斜率为.则 当时.取最小值-4. 又. 所以.所求切线方程为.即 (2) 由.解得:或. 函数在和上是增函数.在上是减函数. 所以 或 或 解得 故的取值范围是. 例5.已知函数在处取得极值.曲线过原点和点P.若曲线在P处的切线与直线的夹角为.且的倾斜角为钝角. (1)求的解析式, (2)若在区间上是增函数.求实数的取值范围, (3)若.求证:. 解:(1) 曲线过原点. 且是的极值点. .过点P的切线的斜率为. 由夹角公式得: 切线的倾斜角为钝角.舍去. 由 故 (2).令即 的增区间为在区间上是增函数. , (3)令.. 在区间[-1.1]上的最大值M为4.最小值N为0. 故对任意.有 变式: 设函数.其中. (1)当时.讨论函数的单调性, (2)若函数仅在处有极值.求的取值范围, (3)若对于任意的.不等式在上恒成立.求的取值范围. 解:(1). 当时.. 令.解得...当变化时..的变化情况如下表: ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在.内是增函数.在.内是减函数. (2).显然不是方程的根. 为使仅在处有极值.必须恒成立.即有. 解此不等式.得.这时.是唯一极值.因此满足条件的的取值范围是. (3)由条件可知.从而恒成立. 当时.,当时.. 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者. 为使对任意的.不等式在上恒成立.当且仅当即在上恒成立.所以.因此满足条件的的取值范围是. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

(14)已知函数

(Ⅰ)求函数的极值;

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且,使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随切线.当时,已知两点,试求弦的伴随切线的方程;O%M

(Ⅲ)设,若在上至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围。O%

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(14)已知函数

(Ⅰ)求函数的极值;

(Ⅱ)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且,使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随切线.当时,已知两点,试求弦的伴随切线的方程;O%M

(Ⅲ)设,若在上至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围。O%

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.

   1.(本小题满分7分) 选修4一2:矩阵与变换

   如果曲线在矩阵的作用下变换得到曲线,   求的值。

 

   2.(本小题满分7分) 选修4一4:坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是为参数).

   (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;O

   (2)设直线轴的交点是是曲线上一动点,求的最大值.

 

3.(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲

    设函数

   (1)解不等式;     (2)若的取值范围。

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