题目列表(包括答案和解析)
设函数
(1)当时,求曲线
处的切线方程;
(2)当时,求
的极大值和极小值;
(3)若函数在区间
上是增函数,求实数
的取值范围.
【解析】(1)中,先利用,表示出点
的斜率值
这样可以得到切线方程。(2)中,当
,再令
,利用导数的正负确定单调性,进而得到极值。(3)中,利用函数在给定区间递增,说明了
在区间
导数恒大于等于零,分离参数求解范围的思想。
解:(1)当……2分
∴
即为所求切线方程。………………4分
(2)当
令………………6分
∴递减,在(3,+
)递增
∴的极大值为
…………8分
(3)
①若上单调递增。∴满足要求。…10分
②若
∵恒成立,
恒成立,即a>0……………11分
时,不合题意。综上所述,实数
的取值范围是
已知幂函数满足
。
(1)求实数k的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)对于(1)中的函数,试判断是否存在正数m,使函数
,在区间上的最大值为5。若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解和函数的最值的运用。第一问中利用,幂函数满足
,得到
因为,所以k=0,或k=1,故解析式为
(2)由(1)知,,
,因此抛物线开口向下,对称轴方程为:
,结合二次函数的对称轴,和开口求解最大值为5.,得到
(1)对于幂函数满足
,
因此,解得
,………………3分
因为,所以k=0,或k=1,当k=0时,
,
当k=1时,,综上所述,k的值为0或1,
。………………6分
(2)函数,………………7分
由此要求,因此抛物线开口向下,对称轴方程为:
,
当时,
,因为在区间
上的最大值为5,
所以,或
…………………………………………10分
解得满足题意
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