已知函数，其中.

  （1）若在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；

  （2）讨论函数在的单调性；

  （3）若函数在上的最小值为2，求的取值范围.

【解析】第一问，因在处取得极值

所以，，解得，此时，可得求曲线在点

处的切线方程为：

第二问中，易得的分母大于零，

①当时， ，函数在上单调递增；

②当时，由可得，由解得

第三问，当时由（2）可知，在上处取得最小值，

当时由（2）可知在处取得最小值，不符合题意.

综上，函数在上的最小值为2时，求的取值范围是

 

阅读下面一段文字：已知数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1=2，则易知通项a_n=2n-1，前n项的和S_n=n²．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证S_n＞n²，可以先证a_n＞2n-1，而要证a_n＞2n-1，只需证a_n-a_n-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x³+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：S_n≥2ⁿ-1．

（本小题满分14分）

阅读下面一段文字：已知数列的首项，如果当时，，则易知通项，前项的和. 将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列的首项，如果当时，，那么，且. 这种从“等”到“不等”的类比很有趣。由此还可以思考：要证，可以先证，而要证，只需证（）. 结合以上思想方法，完成下题：

已知函数，数列满足，，若数列的前项的和为，求证：.

阅读下面一段文字：已知数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1=2，则易知通项a_n=2n-1，前n项的和S_n=n²．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证S_n＞n²，可以先证a_n＞2n-1，而要证a_n＞2n-1，只需证a_n-a_n-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x³+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：S_n≥2ⁿ-1．