题目列表(包括答案和解析)
由双曲线=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2,求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标.
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().
【解析】(1)解: 的定义域为
由,得
当x变化时,,的变化情况如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
极小值 |
因此,在处取得最小值,故由题意,所以
(2)解:当时,取,有,故时不合题意.当时,令,即
令,得
①当时,,在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的,总有,即在上恒成立,故符合题意.
②当时,,对于,,故在上单调递增.因此当取时,,即不成立.
故不合题意.
综上,k的最小值为.
(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取,得 ,
从而
所以有
综上,,
已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明().
【解析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.
由,得,,.
由条件,得方程组,解得
所以,,.
(2)证明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:数学归纳法)
① 当n=1时,,,故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,有:
即,因此n=k+1时等式也成立
由①和②,可知对任意,成立.
设, .
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
(3)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)求出切点坐标和切线斜率,写出切线方程;(2)存在,转化解决;(3)任意的,都有成立即恒成立,等价于恒成立
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