如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

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如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=

12

5

2

时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，

1―5BADAD 6―10CBCAA

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共24分。

17.       解：（1）

所以

（2）当时，

所以，即。

（3）即所以

所以

所以

18.      解：（1）甲、乙两景点各有一个同学交换景点后，甲景点恰有2个A班同学有两种情况

①     互换的是A班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为.

②     ②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班的同学的事件记为..

所以甲景点恰有2个A班的同学的概率.

(2) 甲景点内A班的同学数为，

则，，

所以。

19.  解：（1）

时，取得最小值，

即

（2）令

由，得或（舍去）

（0,1）

1

（1,2）

0

增

极大值

减

在内有最大值，

对时恒成立等价于恒成立。

即

20.  (1)证明：以A为原点，AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）

则

又   

所以面

面，

（2）解：面，与底面成角,

过E作，垂足为F，则,

,于是

又

则

与所成角的余弦值为。

（3）设平面，则

即

令则

A点到平面PCD的距离设为,则

即A点到平面PCD的距离设为。

21.        解：（1）在等比数列中，前项和为，若成等差数列，则成等差数列。

（2）数列的首项为，公比为。由题意知：

即

当时，有

显然：。此时逆命题为假。

当时，有，

，此时逆命题为真。

22.        解：（1）设椭圆方程为

则解得所以椭圆方程

（2）因为直线平行于OM，且在轴上的截距为

又，所以的方程为：

由

因为直线与椭圆交于两个不同点，

所以的取值范围是。

（3）设直线的斜率分别为，只要证明即可

设，则

由

可得

而

故直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形。