（本题满分14分）

已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线 上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,… .  设点的坐标为，.

（Ⅰ）试用表示，并证明；   

（Ⅱ）试证明，且（）；

（Ⅲ）当时，求证：  （）.

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（本题满分14分）

已知曲线方程为，过原点O作曲线的切线

（1）求的方程；

（2）求曲线，及轴围成的图形面积S；

（3）试比较与的大小，并说明理由。

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一.DACAC；DBBBC；二.11.31；12. ；13. ；14.80；15.-3.

16解：（Ⅰ）由图得

X     

(0,1) 

 1 

(1,2)

 2

0   

 0       

极大值  

极小值

故当x（0, 1）时，f(x)是增函数，当 x（2,，+∞）时，f(x)也是增函数，

当x（1 ，2）时，f(x)是减函数. ……………………………5分

则=1; ……………………………7分

（Ⅱ）依题意得      ……………10分    即

.……………………………13分

17、解：（Ⅰ）求导得。……………………………1分

 由于 的图像与直线相切于点，所以，……3分

即：              1－3a+3b = -11 解得: ．…………6分

                  3-6a+3b=-12

（Ⅱ）由得：……7分

令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；………9分，又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. ……10分

故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，………………12分

当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数. ……………………………13分

18. 解  ⑴ …………1分

 由题意知,1与3是方程的两根, …………2分

于是  …………4分

当时,  当时,  当时,

故当x（, 1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，

但当x（1 ，3）时，f(x)是减函数. ……………………………7分

 ⑵

当时,  当时,  当时,

 当时,有极小值10c…………9分

又时, 的最小值为10c-16…………10分

对任意恒成立…………11分

即   c的取值范围是  ……………………………13分

19解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，…………2分

要耗没（升）。…………4分

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。…………5分

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，…………6分，设耗油量为升，依题意得…………8分

     令得…………10分

当时，是减函数；  当时，是增函数。

当时，取到极小值

       因为在上只有一个极值，所以它是最小值。…………12分

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。………13分

20解：（1）……………………………………2分

因为当时，，所以是函数的递增区间；

当时，，所以是函数的递减区间；…………5分

显然，当时，函数有最大值，最大值为………………7分。

（2）令则，

………………………………………………10分

当时，，所以在（1，+∞）上为增函数。………………………12分

所以当时， ，………………………13分

故即………………………………………………14分

21解:(1)令F(x)=f(x)－g(x)=x³+(2－a)x²+4,

∴f(x)≥g(x)在［0,+∞）上恒成立等价于F(x)_min≥0(x∈［0,+∞）). ………………………1分

F′(x)= 3x²+2(2－a)x,

 ①若2－a≥0,即a≤2时, F（x）在［0,+∞）是增函数，F(x)_min=4＞0; ………3分

②若2－a＜0,即a＞2时,F′(x)=3x²－2(a－2)x=3x［x－］.由于F′()=0,

且当x＞时,F′(x)＞0;当0≤x＜时,F(x)_min=F()≥0,   ………………………6分

即()³－(a－2)( )²+4≥0,得a≤5.∴2＜a≤5.又a≤2, ………………………7分

取并集得a的取值范围是（－∞,5］.       ………………………8分

(2)由题意f(x)_min≥g(x)_max,x∈［0,+∞）.

x∈［0,+∞）时显然,f(x)_min=－4(当x=0时,取最小值). ………………10分

∵a≥0时,g(x)图像开口向上，无最大值,不合题意, ………………………11分

∴a＜0.又∵－∈［0,+∞),g(x)_max=－,   ………………………13分

∴－≤－4.∴a≤－.∴a的取值范围是（－∞,－］.  ………………………14分