设数列{a_n}满足:a₁=1,a_n+1=3a_n,n∈N₊.

(1)求{a_n}的通项公式及前n项和S_n.

(2)已知{b_n}是等差数列,T_n为前n项和,且b₁=a₂,b₃=a₁+a₂+a₃,求T₂₀.

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1,S_n=4a_n+S_n-1-a_n-1(n≥2且n∈N^*).

   （1）求证：数列{a_n}是等比数列；

   （2）若b_n=n a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n ；

   （3）若c_n=tⁿ[n(lg3+lgt)+lga_n+1](t＞0),且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项, 求实数t的取值范围．

设数列{a_n}满足:a₁=1,a_n+1=3a_n,n∈N₊.

(1)求{a_n}的通项公式及前n项和S_n.

(2)已知{b_n}是等差数列,T_n为前n项和,且b₁=a₂,b₃=a₁+a₂+a₃,求T₂₀.

在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…，这些数叫做三角形数，其通项为

n(n+1)

2

，前n项和为sn=

n(n+1)(n+2)

6

，如下图所示，有一列三角形数表，其位于三角形的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列，依次记各三角形数表中的所有数之和为a_n，则a1=

0+2+6

4

=

2(1+3)

4

=2，a2=

0+3+9+18

9

=

3(1+3+6)

9

=

10

3

．
（1）求a₃，a₄，并写出a_n的表达式；
（2）令b_n=

an

an+1

+

an+1

an

，证明2n＜b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2n+2（n∈N^*）．