例1.如图.设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点.过M引抛物线的切线.切点分别为A.B. (Ⅰ)求证:A.M.B三点的横坐标成等差数列, (Ⅱ)已知当M点的坐标为(——青夏教育精英家教网—

例1.如图.设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点.过M引抛物线的切线.切点分别为A.B. (Ⅰ)求证:A.M.B三点的横坐标成等差数列, (Ⅱ)已知当M点的坐标为(2.-2p)时..求此时抛物线的方程, (Ⅲ)是否存在点M.使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上.其中.点C满足(O为坐标原点).若存在.求出所有适合题意的点M的坐标,若不存在.请说明理由. (Ⅰ)证明:由题意设由得.则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以 ① ② 由①.②得因此 .即所以A.M.B三点的横坐标成等差数列. 知.当x0=2时. 将其代入①.②并整理得: 所以 x1.x2是方程的两根. 因此又所以由弦长公式得又. 所以p=1或p=2. 因此所求抛物线方程为或 (Ⅲ)解:设D(x3,y3).由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上.并注意到点也在直线AB上. 代入得若D(x3,y3)在抛物线上.则因此 x3=0或x3=2x0. 即D(0.0)或 (1)当x0=0时.则.此时.点M(0,-2p)适合题意. (2)当.对于D(0.0).此时又AB⊥CD. 所以即矛盾. 对于因为此时直线CD平行于y轴. 又所以直线AB与直线CD不垂直.与题设矛盾. 所以时.不存在符合题意的M点. 综上所述.仅存在一点M(0.-2p)适合题意. 例2设椭圆中心在坐标原点.是它的两个顶点.直线与AB相交于点D.与椭圆相交于E.F两点． (Ⅰ)若.求的值, (Ⅱ)求四边形面积的最大值． (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为. 直线的方程分别为.．如图.设.其中. 且满足方程. 故．① 由知.得, 由在上知.得．所以. 化简得. 解得或． (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知.点到的距离分别为. ．又.所以四边形的面积为 . 当.即当时.上式取等号．所以的最大值为．解法二:由题设..．设..由①得.. 故四边形的面积为 . 当时.上式取等号．所以的最大值为．例3.已知x.y满足约束条件 x≥1. x-3y≤-4. 3x+5y≤30. 求目标函数z=2x-y的最大值和最小值. 解:根据x.y满足的约束条件作出可行域.即如图所示的阴影部分. 作直线:2x-y=0.再作一组平行于的直线:2x-y=t.t∈R. 可知.当在的右下方时.直线上的点(x.y)满足2x-y＞0.即t＞0.而且直线往右平移时.t随之增大.当直线平移至的位置时.直线经过可行域上的点B.此时所对应的t最大,当在的左上方时.直线上的点(x.y)满足2x-y＜0.即t＜0.而且直线往左平移时.t随之减小.当直线平移至的位置时.直线经过可行域上的点C.此时所对应的t最小. x-3y+4=0. 由解得点B的坐标为(5.3), 3x+5y-30=0. x=1. 由解得点C的坐标为(1.). 3x+5y-30=0. 所以.=2×5-3=7,=2×1-=. 例4.已知曲线所围成的封闭图形的面积为.曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． (Ⅰ)求椭圆的标准方程, (Ⅱ)设是过椭圆中心的任意弦.是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点． (1)若(为坐标原点).当点在椭圆上运动时.求点的轨迹方程, (2)若是与椭圆的交点.求的面积的最小值．解:(Ⅰ)由题意得又. 解得.．因此所求椭圆的标准方程为．假设所在的直线斜率存在且不为零.设所在直线方程为. ．解方程组得.. 所以．设.由题意知. 所以.即. 因为是的垂直平分线. 所以直线的方程为. 即. 因此. 又. 所以. 故．又当或不存在时.上式仍然成立．综上所述.的轨迹方程为． (2)当存在且时.由(1)得.. 由解得.. 所以..．解法一:由于 . 当且仅当时等号成立.即时等号成立.此时面积的最小值是．当.．当不存在时.．综上所述.的面积的最小值为．解法二:因为. 又.. 当且仅当时等号成立.即时等号成立. 此时面积的最小值是．当.．当不存在时.．综上所述.的面积的最小值为．例5如图.在以点O为圆心.|AB|=4为直径的半圆ADB中.OD⊥AB.P是半圆弧上一点.∠POB=30°.曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹.且曲线C过点P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系.求曲线C的方程, (Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E.F. 若△OEF的面积不小于2.求直线l斜率的取值范围. 解:本小题主要考查直线.圆和双曲线等平面解析几何的基础知识.考查轨迹方程的求法.不等式的解法以及综合解题能力. (Ⅰ)解法1:以O为原点.AB.OD所在直线分别为x轴.y轴.建立平面直角坐标系.则A.B(2.0).D(0,2).P().依题意得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|＝＜ |AB|＝4. ∴曲线C是以原点为中心.A.B为焦点的双曲线. 设实半轴长为a.虚半轴长为b.半焦距为c. 则c＝2.2a＝2.∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为. 解法2:同解法1建立平面直角坐标系.则依题意可得 ||MA|-|MB||=|PA|-|PB|＜|AB|＝4. ∴曲线C是以原点为中心.A.B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为＞0.b＞0). 则由解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1:依题意.可设直线l的方程为y＝kx+2.代入双曲线C的方程并整理得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E.F. ∴ ∴k∈(-,-1)∪∪(1.). ② 设E(x1.y1).F(x2, y2).则由①式得x1+x2=,于是 |EF|＝＝而原点O到直线l的距离d＝. ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF.则有 ③ 综合②.③知.直线l的斜率的取值范围为[-.-1]∪ ∪(1, ). 解法2:依题意.可设直线l的方程为y＝kx+2.代入双曲线C的方程并整理. 得(1-k2)x2-4kx-6=0. ① ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E.F. ∴ . ∴k∈(-.-1)∪∪(1.). ② 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ③ 当E.F在同一支上时. S△OEF＝当E.F在不同支上时. S△ODE= 综上得S△OEF＝于是由|OD|＝2及③式.得S△OEF= 若△OEF面积不小于2 ④ 综合②.④知.直线l的斜率的取值范围为[-.-1]∪∪(1.). 例7. 已知⊙M:轴上的动点.QA.QB分别切⊙M于A.B两点.(1)如果.求直线MQ的方程, (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 解:(1)由.可得由射影定理.得在Rt△MOQ中. . 故. 所以直线AB方程是 (2)连接MB.MQ.设由点M.P.Q在一直线上.得由射影定理得即把消去a. 并注意到.可得说明:适时应用平面几何知识.这是快速解答本题的要害所在. 例8.已知椭圆.能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M.使它到左准线的距离为它到两焦点F1.F2距离的等比中项.若能找到.求出该点的坐标.若不能找到.请说明理由. 解:假设存在满足条件的点.设M(x1.y1)a2=4.b2=3.∴a=2..c=1.∴. .点M到椭圆左准线的距离 .∴.∴.∴或.这与x1∈[-2.0)相矛盾.∴满足条件的点M不存在. 例9.已知椭圆中心在原点.焦点在轴上.焦距为4.离心率为. (Ⅰ)求椭圆方程, (Ⅱ)设椭圆在y轴正半轴上的焦点为M.又点A和点B在椭圆上.且M分有向线段所成的比为2.求线段AB所在直线的方程. 解:(Ⅰ)设椭圆方程为由2c=4得c=2 又故a=3. ∴所求的椭圆方程为 (Ⅱ)若k 不存在.则.若k 存在.则设直线AB的方程为:y=kx+2 又设A 由得 ① ② ∵点M坐标为M(0.2) ∴ 由∴ ∴代入①.②得- ③ ④ 由③.④ 得 ∴ ∴线段AB所在直线的方程为:. 说明:有向线段所成的比.线段的定比分点等概念.本身就是解析几何研究的一类重要问题.向量概念的引入.使这类问题的解决显得简洁而流畅.求解这类问题可以用定比分点公式.也可以直接用有向线段的比解题. 另外.向量的长度.点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系.向量与解析几何的结合.为解决这些问题开辟了新的解题途径. 例12.已知双曲线的离心率.过的直线到原点的距离是 (1)求双曲线的方程, (2)已知直线交双曲线于不同的点C.D且C.D都在以B为圆心的圆上.求k的值. 解:∵(1)原点到直线AB:的距离. 故所求双曲线方程为 (2)把中消去y.整理得 . 设的中点是.则即故所求k=±. 说明:为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程. 例15.已知椭圆的长.短轴端点分别为A.B.从此椭圆上一点M向x轴作垂线.恰好通过椭圆的左焦点.向量与是共线向量. (1)求椭圆的离心率e, (2)设Q是椭圆上任意一点. .分别是左.右焦点.求∠ 的取值范围, 解:(1)∵.∴. ∵是共线向量.∴.∴b=c,故. (2)设当且仅当时.cosθ=0.∴θ. 说明:由于共线向量与解析几何中平行线.三点共线等具有异曲同工的作用.因此.解析几何中与平行线.三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题.求解此类问题的关键是:正确理解向量共线与解析几何中平行.三点共线等的关系.把有关向量的问题转化为解析几何问题. 例16.一条斜率为1的直线与离心率为的椭圆C:()交于P.Q.两点.直线与Y轴交于点R.且..求直线和椭圆C的方程. 解: 椭圆离心率为.. 所以椭圆方程为.设方程为:. 由消去得 --(1) --(2) 所以而所以所以--(3)又.. 从而--得--(5) 由解得. 适合. 所以所求直线方程为:或,椭圆C的方程为说明:向量数量积的坐标表示.构建起向量与解析几何的密切关系.使向量与解析几何融为一体.求此类问题的关键是:利用向量数量积的坐标表示.沟通向量与解析几何的联系.体现了向量的工具性. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

2006山东高考，1定义集合A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为

[　　]

A．

B．

C．

D．

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4、例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：
（1）菱形对角线相互垂直平分．
（2）“2≤3”

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例1．在△ABC内，求一点P，使

AP2