题目列表(包括答案和解析)
设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线的斜率 满足
【解析】(1)解:设点P的坐标为.由题意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以椭圆的离心率
(2)证明:(方法一)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由条件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依题意,直线OP的方程为,设点P的坐标为.
由P在椭圆上,有
因为,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
在△中,∠,∠,∠的对边分别是,且 .
(1)求∠的大小;(2)若,,求和的值.
【解析】第一问利用余弦定理得到
第二问
(2) 由条件可得
将 代入 得 bc=2
解得 b=1,c=2 或 b=2,c=1 .
如图,已知圆锥体的侧面积为,底面半径和互相垂直,且,是母线的中点.
(1)求圆锥体的体积;
(2)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示).
【解析】本试题主要考查了圆锥的体积和异面直线的所成的角的大小的求解。
第一问中,由题意,得,故
从而体积.2中取OB中点H,联结PH,AH.
由P是SB的中点知PH//SO,则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.
由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.在OAH中,由OAOB得;
在中,,PH=1/2SB=2,,
则,所以异面直线SO与P成角的大arctan
解:(1)由题意,得,
故从而体积.
(2)如图2,取OB中点H,联结PH,AH.
由P是SB的中点知PH//SO,则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.
由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.
在OAH中,由OAOB得;
在中,,PH=1/2SB=2,,
则,所以异面直线SO与P成角的大arctan
已知△的内角所对的边分别为且.
(1) 若, 求的值;
(2) 若△的面积 求的值.
【解析】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识,考查运算求解能力。第一问中,得到正弦值,再结合正弦定理可知,,得到(2)中即所以c=5,再利用余弦定理,得到b的值。
解: (1)∵, 且, ∴ . 由正弦定理得, ∴.
(2)∵ ∴. ∴c=5
由余弦定理得,
∴
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