已知数列{a_n}的每一项都是正数，满足a₁=2，且a_n+1²-a_na_n+1-2a_n²=0；等差数列{b_n}的前n项和为T_n，b₂=3，T₅=25．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）比较

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

与2的大小；
（3）若

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

＜c恒成立，求整数c的最小值．

已知数列{x_n}满足x₁=x₂=1并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁、x₃、x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）设0＜λ＜1，常数k∈N^*且k≥3，证明

x1+k

x1

+

x2+k

x2

+…+

xn+k

xn

＜

λk

1-λk

(n∈N*)．

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）试比较a_n与（n+2）²的大小．

已知数列{a_n^}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求数列的前三项a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a_n通项公式．

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a1=

1

4

，bn+1=

bn

1- a n 2

a_n+b_n=1．
（1）求证：数列{

1

bn-1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n对于n∈N^*恒成立，试求实数a的取值范围．