Question

已知数列{a_n^}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），且a₄=81
（1）求数列的前三项a₁、a₂、a₃的值；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a_n通项公式．

Answer 1

分析：（1）直接把n=3，2，1代入a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），再借助于a₄=81，即可求出数列的前三项；
（2）先假设存在一个实数λ符合题意，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，整理

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2）?a₄=2a₃+2⁴-1=81?a₃=33
同理可得a₂=13，a₁=5（3分）
（2）假设存在一个实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数
∵

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

（5分）
要使

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0，得λ=-1
故存在一个实数λ=-1，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列（8分）
由（2）知数列{

an+λ

2n

}的公差d=1，∴

an-1

2n

=

a1-1

21

+(n-1)•1=n+1
得a_n=（n+1）•2ⁿ+1（13分）

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．解决第二问的关键在于由数列{

an+λ

2n

}为等差数列，得到

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

必为与n无关的常数，进而求出对应实数λ的值．