题目列表(包括答案和解析)
如图,三棱锥中,侧面底面, ,且,.(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)若为侧棱PB的中点,求直线AE与底面所成角的正弦值.
【解析】第一问中,利用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以第二问中结合取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,
则为直线AE与底面ABC 所成角,
解
(Ⅰ) 证明:由用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以
………………………………………………6分
(Ⅱ)如图, 取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,
因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面ABC,
又EH//PO,所以EH平面ABC ,
则为直线AE与底面ABC 所成角,
且………………………………………10分
又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,
由(Ⅰ)已证平面PBC,所以,即,
故,
于是
所以直线AE与底面ABC 所成角的正弦值为
已知数列的前项和为,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到,②由于,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由得. ……2分
若存在由得,
从而有,与矛盾,所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一. ……10分
证法三:(利用对偶式)设,,
则.又,也即,所以,也即,又因为,所以.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
已知曲线C:(m∈R)
(1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。
【解析】(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆,当且仅当解得,所以m的取值范围是
(2)当m=4时,曲线C的方程为,点A,B的坐标分别为,
由,得
因为直线与曲线C交于不同的两点,所以
即
设点M,N的坐标分别为,则
直线BM的方程为,点G的坐标为
因为直线AN和直线AG的斜率分别为
所以
即,故A,G,N三点共线。
在中,是三角形的三内角,是三内角对应的三边,已知成等差数列,成等比数列
(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若,求的值.
【解析】第一问中利用依题意且,故
第二问中,由题意又由余弦定理知
,得到,所以,从而得到结论。
(1)依题意且,故……………………6分
(2)由题意又由余弦定理知
…………………………9分
即 故
代入得
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1 |
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1 |
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