如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组4人)在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

(1)求a的值；

(2)求乙组四名同学数学成绩的方差；

(3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值(数学期望)．

(温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．)

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形状如图所示的三个游戏盘中(图(1)是正方形，M、N分别是所在边中点，图(2)是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图(3)是正六边形，点P为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．

(Ⅰ)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？

(Ⅱ)用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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形状如图所示的三个游戏盘中（图1是正方形，M、N分别是所在边中点，图2是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图3是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（II）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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形状如图所示的三个游戏盘中（图1是正方形，M、N分别是所在边中点，图2是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图3是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．
（I）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？
（II）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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1～10：C C B C A    B A B D A

11、    12、    13、    14、>

15、   （提示：15.，又）

16.解：（1）

            ………3（分）

由=0即

即对称中心为                        …………6（分）

（2）已知b²=ac

即的值域为综上所述，，故值域为…12（分）

17．解：（1）的最大值为6，此时有或，故所求的概率为

.                                        …………5（分）

     （2）的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：

0

1

2

3

4

5

6

                                                                       ……………10（分）

                ……12（分）

18.解：（1）， 又

        …………5（分）

      （2）当时，则

其表面积

当与不垂直时，则，否则由（1）知，可得（矛盾）.

当时，与不能垂直，否则

，从而，与矛盾.

，从而可得          …………①

由得，                …………②

根据①、②得：，从而导致矛盾.

，从而得到

当时，

当时，

，即四面体的各个面是全等的三角形.

其表面积为.                                           ……………12（分）

19.解：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

                           …………（3分）

     （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由（*）式得

         因为x₁>0，所以a>b.

      猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.         ……（6分）

     （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*， 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x_1，而x₁∈(0, 2)，所以

         由此猜测b的最大允许值是1.                                 ……………（10分）

         下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

        ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b最大允许值是1.…（13分）

20. 解：(1)设双曲线方程为，由椭圆求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

  解得 ，

双曲线的方程为                                     ……………（5分）

(2)解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，

此时.所求的坐标为.                           …………（13分）

解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，.

，，，

又，，即

将代入得

，否则与渐近线平行。。

.

21.（1）  

     故在上是单调递增函数，在上是单调递减函数     ……4（分）

（2）①

       是公差为1的等差数列，且首项为

       故                                 ……………9（分）

     ②由（1）知，当时，在是单调递减函数，又，，即

       .

                                            ………13（分）