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    易错指导:不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系.不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离.是解错本题或不能解答本题的原因. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在上海世界博览会开展期间，计划选派部分高二学生参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且答对一题得1分，答错一题扣1分，至少得2分才能入选成为宣传员；甲乙丙三名同学报名参加测试，他们答对每个题的概率都为，且每个人答题相互不受影响.

    （1）求学生甲能通过测试成为宣传员的概率；

    （2）求至少有两名学生成为宣传员的概率.

     

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    2012年4月15日，央视《每周质量报告》曝光某省一些厂商用生石灰处理皮革废料，熬制成工业明胶，卖给一些药用胶囊生产企业，由于皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此这样制成的胶囊，往往重金属铬超标，严重危害服用者的身体健康．该事件报道后，某市药监局立即成立调查组，要求所有的药用胶囊在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，两轮检测是否合格相互没有影响．
    （1）某药用胶囊共生产3个不同批次，经检测发现有2个批次为合格，另1个批次为不合格，现随机抽取该药用胶囊5件，求恰有2件不能销售的概率；
    （2）若对某药用胶囊的3个不同批次分别进行两轮检测，药品合格的概率如下表：
    第1批次 第2批次 第3批次
    第一轮检测
    3
    5
    5
    6
    1
    2
    第二轮检测
    2
    3
    4
    5
    2
    3
    记该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为X，求X的分布列及数学期望EX．

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    甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
    2
    5
    ，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是
    3
    20
    ，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是
    3
    40
    ，且乙通过测试的概率比丙大．
    （Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
    （Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ．
    （Ⅲ）求在乙通过测试的条件下，甲没有通过测试的概率．

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    一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为
    12
    ，且各件产品是否为优质品相互独立．
    （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
    （Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

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    某电视台开办“激情大冲关”娱乐节目，设置了10项关卡，游戏规定：选手需要在这10项关卡中抽签选择其中的5项进行冲关．若5项全部通过，则挑战成功，否则失败．由于某种原因选手甲在这10项关卡中有两项不能通过，其余关卡都能通过．
    （1）求选手甲挑战成功的概率；
    （2）若选手甲连续挑战两次（假设两次挑战相互之间没有影响），求该选手这两次挑战中恰有一次挑战成功的概率．

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    一、选择题

    1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

    6.A 提示：设＝，则表示点与点（0，0）连线的斜率.当该直线kx－y＝0与圆相切时，取得最大值与最小值.圆心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值为.11.(文) B 

    11.(文) A       提示：抛物线的焦点为F（1，0），作PA垂直于准线x＝－1，则

    ｜PA｜＝｜PF｜，当A、P、Q在同一条直线上时，

    ｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

    此时，点P到Q点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值，

    P点的纵坐标为－1，有1＝4x，x＝，此时P点坐标为（，－1），故选A。

    11.（理） B提示：设则

    又。

    12.A    提示:如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方

    程为x＝3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故应选A.

    二、填空题：13-16文理    3   35

     

     

     

     

     

     

    九、实战演习

    一  选择题

    1．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （   ）

    A．2条          B.3条         C.4条        D.6条

    1.C提示： 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C.

    2．在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是  （        ）

    A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

    2.B提示：成等差数列，

    又，

    ，故两直线重合。选B。

    3.已知函数，集合，集合，则集合的面积是      

    A．             B．            C．            D．

    3.D提示： 集合即为：，集合即为： ，其面积等于半圆面积。

    4．（文）已知直线m：交x轴于M，E是直线m上的点，N(1，0)，又P在线段EN的垂直平分线上，且，则动点P的轨迹是(  )

    A．圆   B．椭圆   C．双曲线    D．抛物线

    4．（文）D．

    4．（理）已知P在双曲线上变动，O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，则的重心G的轨迹方程是(  )

    A．    B．

    C．     D．

    4．（理）C．提示：双曲线焦点坐标是F(6，0)．设双曲线上任一点P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，则由重心公式，

    得，解得，代入，得为所求．

    5.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（　　　）

    A.焦点在轴上的椭圆　　　　　B.焦点在轴上的椭圆

    C.焦点在轴上的双曲线　　　　D.焦点在轴上的双曲线

    5.B提示：由，又是三角形的一个内角，故，

    再由，

    结合解得

    。

    故方程表示焦点在轴上的椭圆。选B。

    或者结合单位圆中的三角函数线直接断定。

    6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　　 ）

    A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.有无穷多条      D.不存在

    6.B提示：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB的长为，故这样的直线有且仅有两条。选B。

    或者（1）当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2；

    （2）当该直线的斜率存在时，设该直线方程为，代入抛物线方程得

    ，由。故这样的直线有且仅有两条。

    7.一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，（2，）是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为　　　　　　　　　　　　（　　　）

    A.     B.    C.     D.

    7.A提示：设椭圆方程为，由成等差数列知，从而，故椭圆方程为，将P点的坐标代入得，故所求的椭圆方程为。选A。

    8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为（  ）

    A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等边三角形

    8. B.提示：由两点间距离公式，得，，故选B.

    9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　）

    A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

    9.D提示：特别注意的题目。将直线代入双曲线方程得

    若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则应满足

    。选D。

    10. （文）设离心率为e的双曲线的右焦点为F，直线过点F且斜率为K，则直线与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是（　　）

    Ａ．      Ｂ． 

    Ｃ．      Ｄ．

    10. （理）已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线①②③④。其中属于“B型直线”的是（      ）

    A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

    10. （文）C  提示：由已知设渐近线的斜率为于是

    ，即故选C；

    10. （理）B 提示：理解为以M、N为焦点的双曲线，则c=5, 又|PM|-|PN|=6，则a=3,b=4,几何意义是双曲线的右支，所谓“B型直线”即直线与双曲线的右支有交点，又渐近线为：，逐一分析，只有①②与双曲线右支有交点，故选B；

    11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的最大值为   （   ）

    A、      B、     C、     D、2

    11.B提示：，由    又

    ∴ 故选B项。

    12．若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为(    ) 

    A. 6   B.12   C.24   D.48

    12.B提示：设AB的方程为，代入椭圆方程得，。选B。

    二  填空题

    13.椭圆M：=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是         

    13.

    14. 1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为  n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于         

               

    14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

    ∴c=，b=2=2.

    15. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，线段AB中点的轨迹方程是                               。

    15. 提示：满足(a-2)(b-2)=2。设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

        16．以下四个关于圆锥曲线的命题中

    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

    ②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

    ④双曲线有相同的焦点.

    其中真命题的序号为                 （写出所有真命题的序号）

    16. ③、④

    三  解答题（７４分）

    17. （本小题满分12分）已知，直线：和圆：．

    （1）求直线斜率的取值范围；

    （2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

    解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．

    所以，斜率的取值范围是．

    （2）不能．由（1）知的方程为，其中．

    圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．

    由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．

    18. （本小题满分12分）已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值

    18.解：（1）由题意知：

    ∴椭圆的标准方程为=1.        

    （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，

    ∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

    在△ABC中，由正弦定理，  ，

    ∴＝ .       

    19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).

     （1）求椭圆的方程;

     （2）设是椭圆上一点,且过点

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