题目列表(包括答案和解析)
已知关于
的一元二次方程
．
（Ⅰ）若
是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
（Ⅱ）若
，求方程没有实根的概率．
已知二次函数
（
），若
是从区间
中随机抽取的一个数，
是从区间
中随机抽取的一个数，求方程
没有实数根的概率.
（
），若
是从区间
中随机抽取的一个数，
是从区间
中随机抽取的一个数，求方程
没有实数根的概率.一、选择题（每小题5分，共60分）
1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.D 9.C 10.B 11.B 12.D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.
14.3825
15.1
16.0ⅠⅡ
三、解答题
17.解：（Ⅰ）在
中，由
及余弦定理得
而
，则
；
（Ⅱ）由
及正弦定理得
，
而
，则
于是
，
由
得
，当
即
时，
。
18解：（Ⅰ）基本事件
共有36个，方程有正根等价于
，即
。设“方程有两个正根”为事件
，则事件包含的基本事件为
共4个，故所求的概率为
；
（Ⅱ）试验的全部结果构成区域
，其面积为
设“方程无实根”为事件
，则构成事件的区域为
，其面积为
故所求的概率为
19.解：（Ⅰ）证明：由
平面
及
得
平面，则
而
平面
，则
，又
，则
平面
，
又
平面，故
。
（Ⅱ）在
中，过点
作
于点
，则
平面
.
由已知及（Ⅰ）得
.
故
(Ⅲ)在中过点
作
交
于点
，在
中过点作
交
于点
，连接
，则由
得
由平面
平面
，则
平面
再由
得
平面，又
平面
，则
平面.
故当点为线段
上靠近点
的一个三等分点时，平面.
20.解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，
则
，
（Ⅱ）由
得
，故数列
适合条件①
而
，则当
或
时，
有最大值20
即
，故数列适合条件②.
综上，故数列是“特界”数列。
21.
证明：
消去
得
设点
，则
，
由
，
，即
化简得
，则
即
，故
（Ⅱ）解：由
化简得
由
得
，即
故椭圆的长轴长的取值范围是
。
22.解：（Ⅰ）
，由
在区间
上是增函数
则当
时，恒有
，
即
在区间上恒成立。
由
且
，解得
.
（Ⅱ）依题意得
则
，解得
而
故在区间
上的最大值是
。
（Ⅲ）若函数
的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，
即方程
恰有3个不等的实数根。
而
是方程的一个实数根，则
方程
有两个非零实数根，
则
即
且
.
故满足条件的
存在，其取值范围是
.
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