已知中，，.设，记.

（1）   求的解析式及定义域；

（2）设，是否存在实数，使函数的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【解析】第一问利用（1）如图，在中，由，，

可得，

又AC=2，故由正弦定理得

 

（2）中

由可得.显然，，则

1当m>0的值域为m+1=3/2,n=1/2

2当m<0，不满足的值域为；

因而存在实数m=1/2的值域为.

 

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

（1）求证：BE=EB₁；
（2）若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．

（1）证明：在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．
①∵
∴EG⊥侧面AC₁；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵
∴BF⊥侧面AC₁；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．
③∵
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵
∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，
⑤∵
∴FG=

1

2

AA1=

1

2

BB1，即BE=

1

2

BB1，故BE=EB1．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

 

【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）证明：易得，于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量，

则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

（3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值为.

（3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

如图,已知圆锥体的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.

（1）求圆锥体的体积；

（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

【解析】本试题主要考查了圆锥的体积和异面直线的所成的角的大小的求解。

第一问中，由题意，得，故

从而体积.2中取OB中点H，联结PH,AH.

由P是SB的中点知PH//SO，则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.在OAH中，由OAOB得；

在中，，PH=1/2SB=2，，

则，所以异面直线SO与P成角的大arctan

解：（1）由题意，得，

故从而体积.

（2）如图2，取OB中点H，联结PH,AH.

由P是SB的中点知PH//SO，则(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.

由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.

在OAH中，由OAOB得；

在中，，PH=1/2SB=2，，

则，所以异面直线SO与P成角的大arctan

 

如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB_1，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

(Ⅰ)求证:BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.

注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵                    

即，故