如图，正方形ABCO的边长为，以O为原点建立平面直角坐标系，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，把正方形ABCO绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y轴于点D，且D为B₁C₁的中点，抛物线y=ax²+bx+c过点A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；抛物线的函数表达式是______；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PB₁C₁为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2个单位长度的速度沿射线A₁O下滑，直至顶点B₁落在x轴上时停止．设正方形落在x轴上方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

在数学中玩，在玩中学数学
1：某车间2005年的产值为a万元，以后每年产值均比上一年增长x%．
（1）用代数式表示2006年和2007年的产值；
（2）当a=100，x=10，求2007年的产值．
2：如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？

3：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，按要求填空．
图1旋转形成，图2旋转形成，图3旋转形成，图4旋转形成，图5旋转形成，图6旋转形成．
4：如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：

（1）填写下表：

正方形ABCD内点的个数	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的个数	4	6			…

（2）原正方形能否被分割成2004个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由．