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    7．已知函数 (其中是自然对数的底数)的反函数为.则有 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

    【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

    第二问中，∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即

    分离参数的思想求解参数的范围

    解：（Ⅰ)当时，，．

    当在上变化时，，的变化情况如下表：

     

    －

    ＋

     

    1／e

    ∴时，，．

    (Ⅱ)∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即．

    ∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

    ∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

    ∴只需，即，解之得或.

    因此，的取值范围是

     

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    已知函数其中e为自然对数的底数，

    a，b，c为常数，若函数且

       （1）求实数b，c的值；

       （2）若函数在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围。

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    已知函数, 其中且

    （Ⅰ）讨论函数的单调性；

    （Ⅱ）设函数 （e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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    已知函数其中a<0,且a≠-1．

    （Ⅰ）讨论函数的单调性；

    （Ⅱ）设函数（e是自然对数的底数），是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    已知函数(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)，若f(6－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．

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    一、             

    二、11.210      12.         13.2    14.         15. 或或

    三．解答题：

    16. 解：（1）

    ……………………………………………………………3分

    由题意得周期，故…………………………………………4分

    又图象过点，所以

    即，而，所以

    ∴……………………………………………………6分

    （2）当时，

    ∴当时，即时，是减函数

    当时，即时，是增函数

    ∴函数的单调减区间是，单调增区间是………………12分

    17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、，则，且有，即

    ∴……………………………………………………………………6分

    （2）由（1）,.

    则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：

    ……………………12分

    18. 解法一 公理化法

    （1）当时，取的中点，连接，因为为正三角形，则，由于为的中点时，

    ∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分

    （2）当时，过作于,如图所示，则底面,过作于,连结，则,为二面角的平面角，

    又,

    又，

    ,即二面角的大小为.…………………………………………………8分

    (3)设到面的距离为，则,平面,

    即为点到平面的距离，

    又，

    即解得，

    即到平面的距离为.…………………………………………………………………………12分

    解法二 向量法

    以为原点，为轴，过点与垂直的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

    设，则

    （1）由得，

    则，

    ，………………………………4分

    （2）当时，点的坐标是

    设平面的一个法向量，则即

    取，则，

    又平面的一个法向量为

    又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分

    （3）设到面的距离为，

    则

    到平面的距离为.………………………………………………………………………12分

    19. 解：(Ⅰ)由于，

    故在点处的切线方程是…………………………………………2分

    即，故与表示同一条直线，

    ，即，，.……6分

    (Ⅱ) 由于，

    则或，所以函数的单调区间是，…………………………8分

    故或或

     

    或或，或或

    实数的取值范围是.………………………………………………………12分

    20. 解：（Ⅰ）设过与抛物线的相切的直线的斜率是，

    则该切线的方程为：

    由得

    ，

    则都是方程的解，故………………………………………………4分

    （Ⅱ）设

    由于，故切线的方程是：，又由于点在上，则

    则，

    ，同理

    则直线的方程是，则直线过定点.………………………………………8分

    （Ⅲ）要使最小，就是使得到直线的距离最小，

    而到直线的距离，当且仅当即时取等号.………………………………………………………………10分

    设

    由得，则

    .…………13分

    21. 解：(Ⅰ)由题意知即……1分

     …………3分

    检验知时，结论也成立

    故.………………………………………………………………………………4分

    (Ⅱ) ①由于

    故 ………………………………………………9分

    ②若，其中，则有，则，

    故，

    取（其中表示不超过的最大整数），则当时，. ………………………………………………………14分

     

     

     


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