题目列表(包括答案和解析)
已知函数
其中
为自然对数的底数，
.(Ⅰ)设
，求函数
的最值；（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求
的取值范围.
【解析】第一问中，当
时，
，
．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。
第二问中，∵
，
，
∴原不等式等价于：
,
即
, 亦即
分离参数的思想求解参数的范围
解：（Ⅰ)当时，，．
当在
上变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
－ |
|
＋ |
|
|
|
|
|
|
|
1／e |
∴
时，
，
．
(Ⅱ)∵，，
∴原不等式等价于：
,
即, 亦即．
∴对于任意的
，原不等式恒成立,等价于对
恒成立,
∵对于任意的时, 
（当且仅当
时取等号）．
∴只需
，即
，解之得
或
.
因此，的取值范围是
已知函数
其中e为自然对数的底数，
a，b，c为常数，若函数
且
（1）求实数b，c的值；
（2）若函数
在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围。
已知函数
, 其中
且
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）设函数
（e是自然对数的底数），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.
已知函数
其中a<0,且a≠-1．
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）设函数
（e是自然对数的底数），是否存在a，使
在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知函数
(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)，若f(6－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．
一、
二、11.210 12. 
13.2 14.
15. 
或
或
三．解答题：
16. 解：（1）
……………………………………………………………3分
由题意得周期
，故
…………………………………………4分
又图象过点
，所以
即
，而
，所以
∴
……………………………………………………6分
（2）当
时，
∴当
时，即
时，
是减函数
当
时，即
时，是增函数
∴函数的单调减区间是
，单调增区间是
………………12分
17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
，则
，且有
，即
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由（1）
,
.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
……………………12分
18. 解法一 公理化法
（1）当
时，取
的中点
，连接
，因为
为正三角形，则
，由于
为
的中点时，
∵
平面
,∴
平面,∴
.………………………………………………4分
（2）当
时，过作
于
,如图所示，则
底面
,过作
于
,连结
，则
,
为二面角
的平面角，
又
,
又
，
,即二面角的大小为
.…………………………………………………8分
(3)设
到面
的距离为
，则
,
平面
,
即为点到平面的距离，
又
，
即
解得
，
即到平面的距离为
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以为原点，为
轴，过点与垂直的直线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
设
，则
（1）由得
，
则
，
，
………………………………4分
（2）当时，点的坐标是
设平面的一个法向量
，则
即
取
，则
，
又平面的一个法向量为
又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分
（3）设到面的距离为，
则
到平面的距离为.………………………………………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由于
，
故在点
处的切线方程是
…………………………………………2分
即
，故
与表示同一条直线，
，
即
，
，
.……6分
(Ⅱ) 由于
，
则
或
，所以函数的单调区间是
，…………………………8分
故
或
或
或
或
，
或
或
实数
的取值范围是
.………………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是，
则该切线的方程为：
由
得
，
则
都是方程
的解，故
………………………………………………4分
（Ⅱ）设
由于
，故切线
的方程是：
，又由于点在上，则
则
，
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点
.………………………………………8分
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直线的距离最小，
而到直线的距离
，当且仅当
即
时取等号.………………………………………………………………10分
设
由
得
，则
.…………13分
21. 解：(Ⅰ)由题意知
即
……1分
…………3分
检验知
时，结论也成立
故
.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故
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