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已知：若点满足。
（I）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
(II）求的取值范围；
(III)若求上的取值范围。

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已知，点满足，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记
，求的取值范围.

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一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

A

B

A

D

D

B

C

C

二. 填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)        (10)      (11) 或  (12)   (13) ，

  (14)  10, 

三.解答题 （本大题共6小题,共80分）

(15)     (共12分)

解：（I），，

= ?

                        ------------------2分

                                     ------------------4分

= .                                           ------------------5分

又                      -----------------6分

函数的最大值为.                                   ------------------7分

当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.

（II）由（Z），                 ------------------9分

得，                                ------------------11分

函数的单调递增区间为[]（Z）.       ------------------12分  

(16) （共14分）

解法一：

解：（Ⅰ）且平面.--------------------2分                 

为在平面内的射影.                           --------------------3分                                            

又⊥, ∴⊥.                               --------------------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴为所求二面角的平面角.                          --------------------6分

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°.                   --------------------9分

即二面角大小为60°.

（Ⅲ）过作于D，连结,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴为在平面内的射影.

. -----------------11分

在中，，

在中，，.

∴ =.                                    -------------------13分                       

所以直线与平面所成角的大小为.            -------------------14分               

解法二：

解：（Ⅰ）由已知，

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.                             

则 ,.                    -------------------2分  

则，.

.     

.                        -------------------4分

（Ⅱ），平面.

是平面的法向量. -------------------5分

设侧面的法向量为,

,.

,

      .令则.

则得平面的一个法向量.                            -------------------7分

.                              -------------------8分

即二面角大小为60°.                                    -------------------9分

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一个法向量.               -------------------10分

又， .   -------------------13分                   

所以直线与平面所成角为.                         -------------------14分

（17）（共13分）

解：（I）设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为          -------------------1分

因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：

                                                   -------------------3分

解得.                                             -------------------5分

答：乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.

（II）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关. 

设“团体总分为4分”为事件A，                                 -------------------6分

 则        -------------------9分

  答：团体总分为4分的概率为.

（III）团体总分不小于4分, 即团体总分为4分或6分，

 设“团体总分不小于4分”为事件B，                              -------------------10分                     

 由（II）知团体总分为4分的概率为，

 团体总分为6分, 即3人都闯关成功的概率为            ------------------- 12分

 所以参加复赛的概率为=                         -------------------13分

 答：该小组参加复赛的概率为.

(18) （共13分）

解：（Ⅰ）第5行第5个数是29.                                            ……………2分

 (II) 由得.                             ……………3分

设是数列的前项和， ∴.                            

  当时，                                               ……………5分 

  当时，                       ……………6分

  又当时，，

∴                                             ……………8分

  即数列的通项公式是              

   （III）由 (II)知数列是首项为1，公差为2的等差数列.                 ……………  9分                                    

∵前行共有项          

 ∴第行的第一项为            ………… 11分

∴第行构成首项为,公差为2的等差数列，且有项.    

∴.                           ……………13分

（19）（共14分）

解：（I）设点, 由已知得点在的中垂线上,                    -------------------1分

即,                                                     ------------------2分

根据抛物线的定义知,动点在以F为焦点,以直线m为准线的抛物线上，    ------------------4分

∴点