题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分16分)
定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数;
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围。
(3)试定义函数的下界,举一个下界为3的函数模型,并进行证明。
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().
【解析】(1)解: 的定义域为
由,得
当x变化时,,的变化情况如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
极小值 |
因此,在处取得最小值,故由题意,所以
(2)解:当时,取,有,故时不合题意.当时,令,即
令,得
①当时,,在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的,总有,即在上恒成立,故符合题意.
②当时,,对于,,故在上单调递增.因此当取时,,即不成立.
故不合题意.
综上,k的最小值为.
(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取,得 ,
从而
所以有
综上,,
3 |
x |
3 |
t |
x |
t |
t |
4x2-12x-3 |
2x+1 |
已知函数,且,函数的图象经过点,且与的图象关于直线对称,将函数的图象向左平移2个单位后得到函数的图象.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若在区间上的值不小于8,求实数的取值范围.
(III)若函数满足:对任意的(其中),有,称函数在的图象是“下凸的”.判断此题中的函数图象在是否是“下凸的”?如果是,给出证明;如果不是,说明理由.
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