如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：
（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三边A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面积的最小值．

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C与底面ABC所成的角为

π

4

，AB=BC=

2

，∠ABC=

π

2

，设E、F分别AB、A₁C的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁E
（Ⅱ）求证：EF∥平面BCC₁B₁
（Ⅲ）求以EC为棱，B₁EC与BEC为面的二面角的正切值．