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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

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某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？
（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：

生产能力分组	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	4	8	x	5	3

表2：

生产能力分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
人数	6	y	36	18

先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????? 3分

∴，

∴．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，当且仅当时取＂＝＂．??? 8分

∵，∴，???????????? 10分

∴，当且仅当时取＂＝＂．

故△ABC面积取最大值为．?????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．

①三次取球均出现最大数字为3的概率；??????????? 1分

②三次取球中有2次出现最大数字3的概率；????? 3分

③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率．????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．??????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．?? 8分

则ξ的概率分布列为：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????? 10分

∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．????????? 12分

19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等边三角形，设O是AA₁的中点，连接BO，则BO⊥AA₁． 2分

∵侧面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面积为，知C到AA₁的距离为，，∴△AA₁C₁是等边三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．??????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，．则，，，．??????????????????????????? 5分

设是平面ABC的一个法向量，

则即

令，则．设A₁到平面ABC的距离为d．

∴．????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC₁的一个法向量．    9分

∴．????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．??????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），对称轴方程为，故函数在[0,1]上为增函数，∴．???????????????????????? 2分

当时，．?????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????? 4分

则，∴数列是以为首项，为公比的等比数列．

∴，∴．?????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????? 7分

可知：当时，；当时，；当时，．

即????????????????????? 10分

可知存在正整数或6，使得对于任意的正整数n，都有成立．??? 12分

21．解：（Ⅰ）设，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．?????????????????? 2分

则N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，则，．

∴椭圆的方程为．?????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则，即,????????? 5分

由消去y得．

∵直线l与椭圆交于两个不同点，设，

，

∴，，?????????????????? 7分

∴，

由，，．????? 8分

．??????????? 9分

（或）．

设，则，，，

令，则，

∴在时单调递增，????????????????????? 11分

∴S关于μ在区间单调递增，，，

∴．???????????????????????????? 12分

（或，

∴S关于u在区间单调递增，???????????????????? 11分

∵，，．）???????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因为，，则，   1分

当时，；当时，．

∴在上单调递增；在上单调递减，

∴函数在处取得极大值．???????????????????? 2分

∵函数在区间（其中）上存在极值，

∴解得．??????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即为，???????????? 4分

记，∴，?? 5分

令，则，∵，∴，在上递增，

∴，从而，故在上也单调递增，

∴，

∴．??????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??? 8分

令则，??????????????? 9分

∴，

，

，

………

，??????????????????????? 10分

叠加得：

．???????????????????? 12分

则，

∴.???????????????????? 14