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    如图2.四边形PCBM是直角梯形.∠PCB＝90°.PM∥BC.PM＝1.BC＝2.又AC＝1.∠ACB＝120°.AB⊥PC.直线AM与直线PC 所成的角为60°. (Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面ABC, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    (2007四川，19)如下图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1．∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

    (1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

    (2)求二面角M－AC－B的大小；

    (3)求三棱锥P－MAC的体积．

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    如图所示，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC．
    ①求证：平面PAC⊥平面ABC；
    ②求三棱锥A-MBC的体积．

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    如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
    （1）求证：PC⊥AC；
    （2）求二面角M-AC-B的余弦值；
    （3）求点B到平面MAC的距离．

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    如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
    （1）求证：PC⊥AC；
    （2）求二面角M-AC-B的余弦值．

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    如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．

    （1）求证：PC⊥AC；

    （2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；

    （3）求点B到平面MAC的距离．

     

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    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

                 CABCA，BCDDC

    二、填空题：本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，

    11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0；  15. ②④.

    三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    16.解：(Ⅰ) 由已知  ，   ∴    ，

    又   ΔABC是锐角三角形，  ∴     ………………………………6分

    (Ⅱ)

     

     　　　　　　　　　 ………………………………12分

    17.解法一：（Ⅰ）∵，

    且  ∴ ，   ……………………3分

    ∵ 

    ∴                  ……………………6分

    （Ⅱ）取的中点，则，连结，

    ∵，∴，从而

    作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知， AC⊥MH，

    从而为二面角的平面角            …………………8分

    直线与直线所成的角为，∴   …………………9分

    在中，由余弦定理得

        在中，

    在中，

    在中，

    故二面角的平面角大小为       …………………12分

    解法二：（Ⅰ）同解法一

    （Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

    由题意有，设，

    则 ………5分

    由直线与直线所成的角为，得

    ，即，解得………7分

    ∴，设平面的一个法向量为，

    则，取，得         ……………9分

    又  平面的法向量取为                   ……………10分

    设与所成的角为，则，

    故二面角的平面角大小为            ……………12分

    18.　解：(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M，即前两个问题选择回答A、C且答对，最后在回答问题B时答错了.

            故   幸运观众获得奖金5000元的概率为       　　 ………………6分

    (II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元，其分布列为

    0

    1000

    3000

    7000

    P

    ∴  元. ………………9分

    设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η，则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元，其分布列为

    η

    0

    4000

    6000

    7000

    P

    ∴ 元. ……11分

    故   乙观众的选择所获奖金期望较大.                   ………………12分

    19.解：（1）∵     ……………………2分

    由已知对恒成立，即对恒成立

    又         ∴ 为所求        …………………………5分

         （2）取， ∵ ，  ∴ 

    由已知在上是增函数，即，

    也就是   即                …………8分

    另一方面，设函数，则

    ∴   在上是增函数，又

    ∴   当时，

    ∴    ，即 

    综上所述，………………………………………………13分

    20.解：(Ⅰ) 由题意可知，平面区域如图阴影所示． …3分

    设动点为，则

    ，即．

    由 知，x－y<0，即x2－y2<0．

    所以  y2－x2＝4(y>0)，即为曲线的方程　　…………6分

    (Ⅱ)设，，则以线段为直径的圆的圆心为.

    因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，

    即                  ………………………8分

    因为直线AB过点，当AB ^ x轴时，不合题意．

    所以设直线AB的方程为    y＝k(x－2)．

    代入双曲线方程y2－x2＝4 (y＞0)得:      (k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．

    因为直线l与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是

    x1＋x2＝，x1x2＝．

    ∴   |AB|=

    ∴  

    化简得：k4＋2k2－1＝0                  ……………………………11分

    解得: k2＝－1  （k2＝－－1不合题意，舍去）．

    由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．

    所以直线l存在,其斜率为 k＝－.        …………………13分

    21.　解：(1) 因为  ,所以,

    于是: , 即是以2为公比的等比数列.

    1+1

    因为    

    由题设知： ，解得：,

    又因为且，所以，于是. ……3分

    由得：

    因为是正整数列,  所以  .

    于是是等比数列.  又  , 所以  ，…………………5分

    (2) 由 得：. 

    由及 得：         …………………6分

    设                    ①

    　　　　　　　 ②

    当时，①式减去②式, 得

    于是,

    这时数列的前项和  ．……………8分

    当时，．这时数列的前项和．…………9分

    (3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

    　　　　                ③

    由知，要使③式成立，只要 ，

    因为 

    所以③式成立．

    因此，存在，使得对任意均成立．   ……………13分


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