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（本小题满分13分）
如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；
（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.

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一、选择题：（本大题共10个小题；每小题5分，共50分。）

题 号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答 案

C

B

D

C

A

B

C

B

D

B

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）

11.      12.    13.    14.      15. [-1,1]   

三、解答题：（本大题共6小题，共75分。）

16.解：（I）∵u∥v，∴即------（2分）

    又---------（5分）

  （II）由（I）知------------------------（7分）

        ------------------------------------------------（10分）

    又

    ∴当A－=0，即A= 时，的最大值为--------------（12分）

17. 解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝，从而甲命中但乙未命中目标的概率为

   ------------------------（5分）

（Ⅱ）设A₁表示甲在两次射击中恰好命中k次，B₁表示乙有两次射击中恰好命中l次。依题意有

由独立性知两人命中次数相等的概率为

18. 解法一：（1）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM

∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM为BM在平面A₁C₁CA的内射影

∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB为二面角B―A₁D―A的平面角----------------------（3分）

  平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点

∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，

   , 

即二面角B―A₁D―A的大小为------------------------（6分）

（2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD其位置为AC中点，证明如下：

∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱柱 ， ∴B₁C₁//BC

∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F ，F为AC中点 ∴C₁F⊥A₁D   ∴EF⊥A₁D -----（9分）

同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A₁BD------------------------（11分）

∵E为定点，平面A₁BD为定平面,点F唯一------------------------（12分）

解法二：（1）∵A₁B₁C₁―ABC为直三棱住   C₁C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点, 建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）               ------------------------（2分）

  设平面A₁BD的法向量为

平面ACC₁A₁­的法向量为=（1，0，0）  ------------------------（4分）

即二面角B―A₁D―A的大小为  ------------------------（6分）

（2）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD

欲使EF⊥平面A₁BD    由（2）知，当且仅当//---------------（9分）

∴存在唯一一点F（0，1，0）满足条件. 即点F为AC中点------------（12分）

19．解：（1），    -----------------（2分）

因为函数在处的切线斜率为-3，

所以，即，------------------------（3分）

又得。------------------------（4分）

函数在时有极值，所以，-------（5分）

解得，------------------------------------------（7分）

所以．------------------------------------（8分）

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上的值恒大于或等于零，------------------------------------（10分）

则得，

所以实数的取值范围为．----------------------------------（13分）

20.解： (1)由知，数列{}为等差数列，设其公差为d,则d=,

故.------------------------（4分）

(2)由≥0,解得n≤5.故

当n≤5时，=||+||+…+||=++…+=;---------------（6分）

当n>5时，=||+||+…+||=++…+-…-=.--（8分）

(3)由于=,

所以,------（10分）

从而>0. ----------------------（11分）

故数列是单调递增的数列，又因是数列中的最小项，要使恒成立，则只需成立即可，由此解得m<8,由于m∈Z,

故适合条件的m的最大值为7. ------------------------（13分）

21. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为（，），

则，

，∴．------------------------（2分）

又在双曲线上，∴．

联立①②③，解得，．∴双曲线方程为．--------（5分）

注：对点M用第二定义，得，可简化计算．

（Ⅱ），设，，m：，则

由，得，．--------------------（7分）

由，得．

∴，．．

由，，，---------------------（9分）

消去，，

得．------------------------（10分）

∵，函数在上单调递增，

∴，∴．------------------------（11分）