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    如图.已知P为矩形ABCD所在平面外一点.PA平面ABCD.E.F分别是AB.PC的中点． (Ⅰ)求证:EF∥平面PAD, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，　
    (Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；　　
    (Ⅱ)求证：EF⊥CD；　　
    (Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

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    如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

       (Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；

       (Ⅱ)求证：EFCD；

       (Ⅲ)若，∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．

                                                                                                                    

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，求证：MN∥平面PAD．

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    （8分）如图，已知点P为矩形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD，=，点E是棱PB的中点.

    （Ⅰ）求证： 平面；

    （Ⅱ）若，求二面角的大小..

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    如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、

    PC的中点．

    （1）求证：EF∥平面PAD；

    （2）求证：EF⊥CD；

    （3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．

    【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用

    第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点   ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO   ∴ EF∥平面PAD．

    第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD  又    ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影       ∴ CD⊥EF．

    第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC    ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

    证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①    在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点  ∴ EO∥BC ,又         ∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD    

    ∵ EF Ì 平面EFO      ∴ EF∥平面PAD．

    （2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD  又        ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影     ∴ CD⊥EF．

    （3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC         ∵ EOBC，FOPA

    ∴ FO＝EO 又    ∵ FO⊥平面AC   ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°

     

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    一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

    1.C   2.A   3.D   4.D   5.D   6.B   7.C   8.D   9.C   10.A   11C.   12.C

    二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

    13.x∈R，x≤0    14.－15    15.－1    16.

    三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）

    17.(本小题满分12分)

      解：（Ⅰ）由已知c＝1，则a2－b2＝1．

               又3a2＝4b 2，

    故a2＝4，b2＝3.

               所求椭圆方程为．……………………………………………6分

    （Ⅱ）由

               解得

               又，

        于是 ……………………………………12分

    18.（本小题满分12分）

        解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的方程为．

                      由题意，得解得a＝2，b＝1．

             所求双曲线的方程为…………………………………………6分

           （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F1（0，－），F2（0，）．

    点F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为F1′（－，0），F2′（，0），又P（0，2），设椭圆方程为（m＞n＞0）．

              由椭圆定义，得2m=

    因为m2－n2＝5，所以n2＝4．

    所以椭圆的方程为.………………………………………12分

    19.（本小题满分12分）

        证明：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，

    则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）.

    ∵E为AB的中点，F为PC的中点，

    ∴E（a，0，0），F（a，b，c）.

    （Ⅰ）∵＝（0，b，c），＝（0，0，2c），

    ＝（0，2b，0），

    ∴＝（＋）.

    ∴与、共面.

    又∴平面PAD，

    ∴EF∥平面PAD.……………………4分

    （Ⅱ）∵=（-2a，0，0），

    ∴?＝（-2 a，0，0）?（0，b，c）＝0.

    ∴EFCD.…………………………………………………………8分

    （Ⅲ）若∠PDA＝45°则有2b＝2c，即b＝c.

    ∴＝（0，b，b），＝（0，0，2b）.

    ∴＜，＞＝

    ∴＜，＞＝45°.

    ∵AP平面ABCD，

    ∴是平面ABCD的法向量.

    ∴EF与平面ABCD所成的角为90°－＜，＞＝45°.……12分

     

     

     


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