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已知A、D分别为椭圆E： 的左顶点与上顶点，椭圆的离心率，F_1­、F₂为椭圆的左、右焦点，点P是线段AD上的任一点，且的最大值为1 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（3）设直线l与圆相切于A₁，且l与椭圆E有且仅有一个公共点B₁，当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

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1. {2，8}           2.         3.          4.    

5.     6. 1            7.20       

8.    9.                 10.2           

11.               12.              13. [2，3]        14.

15.证明：（Ⅰ）在中，

∵，，，∴．

∴．????????????????? 2分

又 ∵平面平面，

平面平面，平面，

∴平面．

又平面，

∴平面平面．………………………………………………………………4分

（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．………5分

证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．

∵，所以四边形是梯形．

∵，∴．

又 ∵，

∴，∴MN．…………………………………………………7分

∵平面，∴平面．………………………………………9分

（Ⅲ）过作交于，

∵平面平面，

∴平面．

即为四棱锥的高．……………………………………………………11分

又 ∵是边长为4的等边三角形，∴．……………12分

在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．

∴梯形的面积．

故．……………………………………………14分

16.设的二次项系数为，其图象上两点为（，）、B（，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)

∵　，，，

，，，………………………………(4分)

∴　当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，

，．

　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．

同理可得或，．………………………………………(11分)

　　综上：的解集是当时，为

当时，为，或．

17.解：（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时. 共耗油升.

所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.

（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为S升.

则， ，

令，解得，.

列表：

单调减

极小值11.25

单调增

所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.

18.解：（Ⅰ）设

对称轴方程，由题意或或

∴或或∴

（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：，， ，，．

椭圆的标准方程为．   

设，，联立

得，

又，

因为椭圆的右顶点为，，即，

，

，．

解得：，，且均满足，

当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

19. 解: (1) 由题知:  , 解得 , 故.

(2)  , 

,

, 

又满足上式.   所以.

(3) 若是与的等差中项, 则,

从而,    得. 

因为是的减函数, 所以

当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;

当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为. 

又, 所以,

即数列中最小, 且.

20. 解：（1）由题意得  

而，所以、的关系为         

（2）由（1）知，

   令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.     

①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，

  ∴在内是单调递减函数，即适合题意；

②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，

只需，即，

∴在内为单调递增函数，故适合题意.

③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.                     

综上所述，的取值范围为.      

（3）∵在上是减函数，

 ∴时，；时，，即，

①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；                                     

②当0＜＜1时，由，

又由（2）知当时，在上是增函数，

 ∴＜，不合题意；                                           

③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，

故只需＞，   ，而，