（2013•和平区一模）如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的中点，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求证：DE∥平面ABC：
（II）求证：PD⊥平面BCD；
（III）设Q为PB上一点，

PQ

=λ

PB

，试确定λ的值使得二面角Q-CD-B为45°．

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（2008•湖北模拟）如图，直二面角E-AB-C中，四边形ABEF是矩形，AB=2，AF=2

3

，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一个动点．
（1）若PB=PF，求异面直线PC与AB所成的角的余弦值；
（2）若二面角P-AC-B的大小为30⁰，求证：FB⊥平面PAC．

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如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．

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如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（ I） 求证：AB⊥平面PCB；
（II） 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的正弦值．

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如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．D      2．A      3．B       4．D      5．B       6．C       7．C       8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．           10．           11．5      10           12．            

13．②           14． 

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（共13分）

解：（Ⅰ）

．

因为函数的最小正周期为，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因为，

所以，

所以，

因此，即的取值范围为．

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，

平面．

的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．

，

点的坐标为．

．

点到平面的距离为．

17．（共13分）

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，

即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．

（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，

则．

所以，的分布列是

1

3

18．（共13分）

解：

．

令，得．

当，即时，的变化情况如下表：

0

当，即时，的变化情况如下表：

0

所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

20．（共13分）

（Ⅰ）解：，

，

；

，

．

（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，，，

从而

．

又，

所以