现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．

（一）观察：
从整体看，图2和图3的大正方形的面积都可以表示为（a+b）²，结论①依据整个图形的面积等于各部分面积的和．
图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为：

a²+b²+2ab

a²+b²+2ab

，结论②
图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为：

c²+2ab

c²+2ab

，结论③
（二）思考：
结合结论①和结论②，可以得到一个等式

（a+b）²=a²+b²+2ab

（a+b）²=a²+b²+2ab

；
结合结论②和结论③，可以得到一个等式

a²+b²=c²

a²+b²=c²

；
（三）应用：
请你运用（二）中得到的结论任意选择下列两个问题中的一个解答：
（1）求1.46²+2×1.46×2.54+2.54²的值；
（2）若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S₁、S₂、S₃，且S₁+S₂+S₃=20，求S₂的值．
（四）延伸（本题作为附加题，做对加2分）
若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，则表示图中阴影部分面积和的数值是：

A

A

  A．有理数     B．无理数     C．无法判断
请作出选择，并说明理由．

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（本题9分）四年一度的国际数学家大会会标如图甲．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你根据图甲的启示将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方图甲形并标明相应数据）
          

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说明:对于解题过程中有的题目可用多种解法(或多种证明方法),如果考生的解答与参考答案不同,请参照此评分标准酌情给分.

一. 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

B

D

B

A

D

C

C

评分标准

选对一题给4分，不选，多选，错选均不给分

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．X≠6 ；      12． 2；　　　　13．８；           14．  65°；　　　

15．96 ；        16． （0，0），（0，），（0，-3）写对一个给3分，两个4分，三个给5分

三、解答题（本题有8小题，共80分）

17. （本题8分）

(1)解：原式＝1＋3－                                     　    …………（3分）

＝                                                　 …………（1分）

(2)解：愿方程可化为：x＝3(x－2 )                            　    …………（2分）

                    x＝3                                  　   …………（1分）

经检验 ：x＝3 是原方程的解．                            　 …………（1分）

18．（本题8分）

添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.    　……（2分）

证明例举（以添加条件AD＝BC为例）：

∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，                   　   　　…………（2分）

∴ △ABC≌△BAD．                                 　      …………（2分）

        ∴ AC=BD．                                        　      …………（2分）

19．（本题8分）

（１）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

 （２）列对表格或画对树状图；　　　　　　　　　　　　　　　　　…………（３分）

　　　两次都取到欢欢的概率为．　　　　　　　　　　　　　　　　…………（２分）

20．（本题8分）

答案不唯一．只要符合要求，画对一个给４分，画对两个给８分．　　　　　　　　……（８分）

21．（本题8分）

（１）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=Rt∠．∴sin∠BAC=．   　 ………（3分）

（２）∵OE⊥AC,O是⊙O的圆心, ∴E是AC中点．∴OE＝BC=．   　  …（3分）

（３）∵AC＝=4， ∴tan∠ADC= tan∠ABC=．       　  ……（2分）

22．（本题10分）

（１） 25 ；                                               　 ……………（2分）

（２） 50；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　         　……………（2分）

　　　画对条形统计图　　　　　　　　　　　　　　　          　……………（2分）

（３）５人；（列对方程得２分，给出答案给２分）　　　　     　 ……………（４分）

23．（本题12分）

（1）；                                               　  ………………（2分）

 （2）－x²＋２x  ，１， ； （每格2分）                　     ……………（６分）

（3）设AB长为m，那么AD为

     S=?=－．　　　　　　　　　　    　    ……………（2分）

　　当＝时，Ｓ最大．　　　　　　　　　　　　　   　    ……………（2分）

24．（本题1４分）

（1）直线AB解析式为：y=x+．                      　     ……………（3分）

（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　

∴＝＝．           　  ………（2分）

由题意： ＝，解得（舍去）　　　　　………（2分）

∴　Ｃ（２，）　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　………（１分）

方法二：∵　,＝，∴．…（2分）

由OA=OB，得∠BAO＝30°，AD=CD．

∴　＝CD×AD＝＝．可得CD＝．　　………（2分）

∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）．　　　　　　　　　　　………（1分）

（３）当∠OBP＝Rt∠时，如图

      ①若△BOP∽△OBA，则∠BOP＝∠BAO=30°，BP=OB=3，

∴（3，）．                                           　  ……（2分）

      ②若△BPO∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO=30°,OP=OB=1．

∴（1，）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  …………（１分）

当∠OPB＝Rt∠时

③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30°

过点P作PM⊥OA于点M．

方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．

∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，

∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）．　　……（1分）

方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+

由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．

∵tan∠POM=== ，tan∠ABOC==．

∴x+＝x，解得x＝．此时，（，）． 　　　 ……（1分）

④若△POB∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．　　　

  　 ∴　PM＝OM＝．

∴　（，）（由对称性也可得到点的坐标）．…………（2分）

当∠OPB＝Rt∠时，点P在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

（3，），（1，），（，），（，）．

注：四个点中，求得一个Ｐ点坐标给２分，两个给３分，三个给４分，四个给６分．