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    (Ⅱ)椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，已知椭圆E：的离心率是，P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点（P2位于P1右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P2右侧的一点，且满足．
    （Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
    （Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
    ①求证：B、C关于x轴对称；
    ②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞o)    的左焦点为F（-
    		2
    ，0），离心率e=
    		2
    2
    ，M、N是椭圆上的动点．
    （Ⅰ）求椭圆标准方程；
    （Ⅱ）设动点P满足：
    OP
    =
    OM
    +2
    ON
    ，直线OM与ON的斜率之积为-
    1
    2
    ，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．
    （Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

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    已知曲线上动点到定点与定直线的距离之比为常数．

    （1）求曲线的轨迹方程；

    （2）若过点引曲线C的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在的直线方程；

    （3）以曲线的左顶点为圆心作圆：，设圆与曲线交于点与点，求的最小值，并求此时圆的方程.

    【解析】第一问利用（1）过点作直线的垂线，垂足为D.

    代入坐标得到

    第二问当斜率k不存在时，检验得不符合要求；

    当直线l的斜率为k时，；，化简得

    第三问点N与点M关于X轴对称，设，， 不妨设．

    由于点M在椭圆C上，所以．

    由已知，则

    ，

    由于，故当时，取得最小值为．

    计算得，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．  

    故圆T的方程为：

     

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    （本小题满分12分）
    如图，点是椭圆上一动点，点是点在轴上的射影，坐标平面内动点满足：（为坐标原点），设动点的轨迹为曲线．

    （Ⅰ）求曲线的方程并画出草图；
    （Ⅱ）过右焦点的直线交曲线于，两点，且，点关于轴的对称点为，求直线的方程．

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    （本小题满分12分）
    如图，点是椭圆上一动点，点是点在轴上的射影，坐标平面内动点满足：（为坐标原点），设动点的轨迹为曲线．

    （Ⅰ）求曲线的方程并画出草图；
    （Ⅱ）过右焦点的直线交曲线于，两点，且，点关于轴的对称点为，求直线的方程．

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    一、选择题

    AACCD   BBDDD   AC

    二、填空题

    13．    14．T13    15．①⑤    16．

    三、解答题

    17．解：（Ⅰ）因为，

    由正弦定理，得，              ……3分

    整理，得

    因为、、是的三内角，所以，    

    因此  ．                                                 ……6分

       （Ⅱ），即，                ……8分

    由余弦定理，得，所以，      ……10分

    解方程组，得 ．                       ……12分

    18．（本题满分12分）

    解法一：记与的比赛为，

      （Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：

    ，,

    , ,

    , ．　　………………………３分

    　　其中田忌获胜的只有一种，所以田忌获胜的概率为．

    　　　…………………………………………………………………………………………６分

    （Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马，若田忌第一场出上等马或中等马，则剩下两场中至少输掉一场，这时田忌必败．

    为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，后两场有两种情形：

    ①若齐王第二场派出中等马，可能对阵情形是、

    或者、，所以田忌获胜的概率为；　………………………９分

    ②若齐王第二场派出下等马，可能对阵情形是、

    或者、，所以田忌获胜的概率为，

    所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．

    　　　………………………………………………………………………………………１２分

    解法二：各种对阵情况列成下列表格：

     

     

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………３分

    （Ⅰ）其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌获胜的概率为．……６分

    （Ⅱ）为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马，即只能是第五、第六两种情形．　　…………………………………………………９分

    其中田忌获胜的只有第五种这一种情形，所以田忌按或者的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大值．………………………１２分

    19．（本题满分12分）

    解证: （Ⅰ） 连结连结，

    ∵四边形是矩形 

    ∴为中点

    又为中点,从而∥ ------------3分

    ∵平面,平面

    ∴∥平面。-----------------------5分

    （Ⅱ）（方法1）

    三角形的面积-------------------8分

    到平面的距离为的高 

    ∴---------------------------------11分

    因此，三棱锥的体积为。------------------------------------12分

    （方法2）

    ，

    ，

    ∴为等腰，取底边的中点，

    则，

    ∴的面积　-----------8分

    ∵，∴点到平面的距离等于到平面

    的距离，

    由于，，

    ∴ ，

    过作于，则就是到平面的距离，

    又，----------11分

    ---------------------12分

    （方法３）

    到平面的距离为的高 

    ∴四棱锥的体积------------------------9分

    三棱锥的体积

      ∴---------------------------------------------11分

           因此，三棱锥的体积为。-------------------------------------12分

    20．（Ⅰ）依题意知,                                                     

    ∵,

    ∴．                                        

    ∴所求椭圆的方程为．                     ……4分              

    （Ⅱ）设点关于直线的对称点为，

    ∴                            ……6分                 

    解得：，．                 ……8分               

    ∴．                                ……10分           

    ∵ 点在椭圆:上,

    ∴, 则．

    ∴的取值范围为．                      ……12分

    21．解：（Ⅰ）由知，定义域为，

    ．     ……………………3分

    当时，,                    ………………4分

    当时， ．                            ………………5分

    所以的单调增区间是,

    的单调减区间是．           …………………… ………………6分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，

    在上单调递减，在上单调递增，且当或时，

    , 所以的极大值为，

    极小值为． 　　………………………8分

    又因为,　

    ,  ………１０分

    所以在的三个单调区间上，

    直线与的图象各有一个交点，

    当且仅当, 因此，

    的取值范围为．   ………………12分

    22．解：（Ⅰ）当时，　　……………………………3分

           ∴=

          =

          =

          =　　…………………………………7分

           （Ⅱ）  

      +

    +

    =

    =　……………13分

    当且仅当，即时，最小．……………………14分

     


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