题目列表(包括答案和解析)
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已知函数
(1) 若函数
在
上单调，求
的值；
（2）若函数在区间
上的最大值是
，求的取值范围.
【解析】第一问，
, 
、
第二问中，
由(1)知: 当
时, 
上单调递增
满足条件当
时, 
解: (1) ……3分
, …………….7分
(2)
由(1)知: 当时, 上单调递增
满足条件…………..10分
当时, 且
…………13分
综上所述: 
设函数
（1）当
时，求曲线
处的切线方程；
（2）当
时，求
的极大值和极小值；
（3）若函数在区间
上是增函数，求实数
的取值范围.
【解析】（1）中，先利用
，表示出点的斜率值
这样可以得到切线方程。（2）中，当
，再令
，利用导数的正负确定单调性，进而得到极值。（3）中，利用函数在给定区间递增，说明了在区间导数恒大于等于零，分离参数求解范围的思想。
解：（1）当……2分
∴
即
为所求切线方程。………………4分
（2）当
令………………6分
∴
递减，在（3，+
）递增
∴的极大值为
…………8分
（3）
①若
上单调递增。∴满足要求。…10分
②若
∵
恒成立，
恒成立，即a>0……………11分
时，不合题意。综上所述，实数的取值范围是
已知幂函数
满足
。
（1）求实数k的值，并写出相应的函数
的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使函数
，在区间上的最大值为5。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
【解析】本试题主要考查了函数的解析式的求解和函数的最值的运用。第一问中利用，幂函数
满足，得到
因为
，所以k=0，或k=1，故解析式为
（2）由（1）知，
，
，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：
，结合二次函数的对称轴，和开口求解最大值为5.，得到
（1）对于幂函数满足，
因此，解得
，………………3分
因为，所以k=0，或k=1，当k=0时，，
当k=1时，，综上所述，k的值为0或1，。………………6分
（2）函数，………………7分
由此要求，因此抛物线开口向下，对称轴方程为：，
当时，
，因为在区间
上的最大值为5，
所以
，或
…………………………………………10分
解得满足题意
设函数
．
（I）求
的单调区间；
（II）当0<a<2时，求函数
在区间
上的最小值．
【解析】第一问定义域为真数大于零，得到
．
．
令
，则
，所以
或
，得到结论。
第二问中，
（
）．
．
因为0<a<2，所以
，
．令
可得
．
对参数讨论的得到最值。
所以函数
在
上为减函数，在
上为增函数．
（I）定义域为． ………………………1分
．
令，则，所以或． ……………………3分
因为定义域为，所以．
令
，则
，所以
．
因为定义域为，所以
． ………………………5分
所以函数的单调递增区间为
，
单调递减区间为
．
………………………7分
（II） （）．
．
因为0<a<2，所以，．令 可得．…………9分
所以函数在上为减函数，在上为增函数．
①当
，即
时，
在区间上，在上为减函数，在
上为增函数．
所以
． ………………………10分
②当
，即
时，在区间
上为减函数．
所以
．
综上所述，当时，
；
当时，
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