由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题

例4： 已知函数有三个极值点。

(I)证明：；

(II)若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。

总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象与x轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决

例5：已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围．

只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化为三次函数问题，一般通过极值等手段解决，这些对大家来讲都是很容易的。

五当堂检测

1(09北京文)(本小题共14分)

设函数.

(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切，求的值；

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.

2(09江西文)(本小题满分12分)

设函数．　　　　　

(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

3.(09全国理)本小题满分12分。(注意：在试题卷上作答无效)

设函数在两个极值点，且

(I)求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

(II)证明：

例1.讨论关于x的方程根的个数.

例2：设为实数，函数．

(Ⅰ)求的极值；

(Ⅱ)当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点．

例3. 已知是函数的一个极值点。

⑴求；　 ⑵求函数的单调区间；

⑶若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

5.(09福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.

4．(09江苏卷)在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为　 　　.

3．(09重庆文)把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为 　　.

2．(09江西文)若存在过点的直线与曲线和都相切，则=　　 　　　.

1.(09安徽理)设＜b,函数的图像可能是　　　 (

2.极值情况：

三次函数(a＞0),

导函数为二次函数，

二次函数的判别式化简为：△=，

(1) 若___________，则在上为增函数；

(2) 若____________，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.

三次函数,

(1) 若，则在R上无极值；

(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.

由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。

	三　 次　 函　 数　 图　 象	说　　　　　 明
a对图象 的影响			可以根据极限的思想去分析 当a＞0时，在+∞右向上　　 　　伸展，-∞左向下伸展。 当a＜0时，在+∞右向下 伸展，-∞左向上伸展。
与x轴有三个交点			若,且，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点
与x轴有二个交点			若,且，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点
与x轴有一个交点			1。存在极值时即,且，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。

1.根的个数

三次函数

导函数为二次函数:，

二次函数的判别式化简为：△=___________，

(1) 若_____________，则恰有一个实根；

(2) 若,且_________，则恰有一个实根；

(3) 若,且__________，则有两个不相等的实根；

(4) 若,且____________，则有三个不相等的实根.

说明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数(或两极值同号)，所以(或，且).

(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.

(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.

　 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。近年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函数的单独命题，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。近年高考有多个省份出现了四次函数高考题，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。