22．(本题满分18分，第(1)小题9分，第(2)小题9分)

解：(1)方法1：①当为奇数时，，常数，

轨迹为双曲线，其方程为；……3分

②当为偶数时，，常数，

轨迹为椭圆，其方程为；……6分

依题意得方程组解得，

因为，所以，

此时轨迹为与的方程分别是：，.……9分

方法2：依题意得……3分

轨迹为与都经过点，且点对应的复数，

代入上式得，……6分

设，则　

……10分

……12分

(3)设　 设存在实数，使为锐角，

　……14分

因为

……16分

　 即　

，与矛盾　　 不存在……18分

于是由图形不难得到，……12分

故两个命题同时为真的实数的取值范围是.……14分

21．(本题满分16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分)

解：(1)如图所示，建立平面直角坐标系……2分

由题意得，……4分

所以，抛物线……6分

(2)设抛物线的焦点为　　　　 由题意得，……8分

根据抛物线的定义知，公路总长……12分

当为线段与抛物线的交点(如图)时，公路总长最小，

最小值为9.806千米……16分

23．(本题满分18分，第(1)小题4分，第(2)小题8分，第(3)小题6分)

已知双曲线：的一个焦点是，且．

(1)求双曲线的方程；

(2)设经过焦点的直线的一个法向量为_，当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时，求实数的取值范围；并证明中点在曲线上．

(3)设(2)中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由．

2009学年第二学期测试答案 高二年级

22．(本题满分18分，第(1)小题9分，第(2)小题9分)

设复数与复平面上点对应.

(1)设复数满足条件(其中，常数)，当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；

(2)在(1)的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.

21．(本题满分16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分)

如图，弯曲的河流是近似的抛物线，公路恰好是的准线，上的点到的距离最近，且为千米，城镇位于点的北偏东处，千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路以便建立水陆交通网．

(1)建立适当的坐标系，求抛物线的方程；

(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案(作出图形，在图中标出此时码头的位置)，并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)

20．(本题满分14分)

已知，且以下命题都为真命题：

命题 实系数一元二次方程的两根都是虚数；

命题 存在复数同时满足且.

求实数的取值范围.

19．(本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分)

如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，

(1)求证：；

(2)求与平面所成角大小(用反三角函数表示)．

18．已知直线、及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线、距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是(　　 )

(1)(2)(3)　　 (1)(4)　　 (1)(2)(4)　　 (2)(4)

17．在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是(　　 )

1　　　　 　　　　　　　　　　　

16．如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是(　　 )