6、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是(　　　 )　　　　　　　　　　

A．3　　　　　　 B．2　　　　　 C．1　　　　　　 D．0

5、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　 )

A．　　　 　 B．　　　　 　C．　　　　 　 D．

3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为(　 　)

A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

4设在内单调递增，，则是的

(　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 　D．既不充分也不必要条件

2、设则(　 )

　 A　 sinx　 B –sinx　 C　 cosx　　 D　 -cosx

1、函数f(x)=x³+ax+1在(-∞,-1)上为增函数，在(-1，1)上为减函数，则f(1)为(　　 )

A　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　 C.　　　　　　　　　 D.-1

6.利用导数解决实际问题

例9用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

解：设长方体的宽为(m)，则长为 (m)，高为.

故长方体的体积为

从而令，解得(舍去)或，因此.

当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值，从而最大体积，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m

例10(2009年湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

　 (Ⅰ)试写出关于的函数关系式；

　 (Ⅱ)当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

解 (Ⅰ)设需要新建个桥墩，

所以　

　　　　　　 ＝．

　　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 令，得，所以=64 　　

　 当0<<64时<0，　 在区间(0，64)内为减函数；　　　　　

当时，>0. 在区间(64，640)内为增函数，

所以在=64处取得最小值，此时，

故需新建9个桥墩才能使最小。

5. 利用导数求函数的极值与最值

例7(2009天津卷理)已知函数其中

(1)　　　 当时，求曲线处的切线的斜率；　　

(2)　　　 当时，求函数的单调区间与极值。　　

(I)解：

(II)　　　

以下分两种情况讨论。

(1)＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

(2)＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

点评: 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

例8(2008年天津高考)已知函数()，其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．

解：，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解不等式，得．这时，是唯一极值．因此满足条件的的取值范围是．

3.利用导数解决函数的单调性问题

例5(2008全国高考)已知函数，．

(Ⅰ)讨论函数的单调区间；

(Ⅱ)设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

解：(1)求导得

当时，，，在上递增；

当，求得两根为，

即在递增，递减， 递增。

(2)因为函数在区间内是减函数，所以当时恒成立，结合二次函数的图像可知解得．

点评：函数在某区间上单调转化为导函数或在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数在上递减，所以求解．

[变式1](2004年全国高考)若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，令得或，结合图像知，故．

点评：本题也可转化为恒成立且恒成立来解．

[变式2](2005年湖南高考)已知函数存在单调递减区间，求a的取值范围；

解：因为函数存在单调递减区间，所以在上解，从而有正解．

①当时，为开口向上的抛物线，总有正解；

②当时，为开口向下的抛物线，要使总有正解，则,解得 ．

　综上所述，a的取值范围为．

[变式3](2009浙江高考)已知函数 ．若函数在区间上不单调，求的取值范围．

解：函数在区间不单调，等价于在区间上有实数解，且无重根．

又，由，得。从而

或解得或

所以的取值范围是

点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。

(4)利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

例6 (2009江西高考)若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于　　　　　

A．或　　 　　B．或　　　　 C．或　　　　　 D．或

解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为

即，又在切线上，则或，

当时，由与相切可得，

当时，由与相切可得，所以选.

点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．

[变式](2008辽宁高考)设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为( 　　)

A．　　　　 B．　　　 C．　　　　 D．

解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选．

2. 利用导数研究函数的图像

例3 (2009安徽高考)设＜b,函数的图像可能是

解：，由得，∴当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负．故选C．或当时，当时，选C．

点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.

例4(2009年湖南卷)若函数的导函数在区间上是增函数，

则函数在区间上的图象可能是

A ．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

解: 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.

点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念--函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．

1.导数定义的应用

例1 (2008北京高考)如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为， _________．

解：由图可知，根据导数的定义

知．

例2(2006重庆高考)已知函数,其中，(Ⅰ)略，(Ⅱ)若且，试证：．

解：，易知．故

，

所以解得．