19.(本小题满分13分)

设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

(Ⅰ)已知等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

(Ⅱ)设数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

[解](Ⅰ)设等差数列的公差为，，因为，则

，即.　　　 (2分)

整理得，.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(3分)

因为对任意正整数上式恒成立，则，解得.　　　　　　 (5分)

故数列的通项公式是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)由已知，当时，.因为，所以.　　　　　　　　 (7分)

　当时，，.

两式相减，得.

因为，所以=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

显然适合上式，所以当时，.

于是.

因为，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.(12分)

所以不为常数，故数列不是“科比数列”.　　　　　 (13分)

18.(本小题满分12分)

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图.

(Ⅰ)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

(Ⅱ)求二面角C-AB-F的正切值.

[解](Ⅰ)因为AF＝BF，∠AFB＝60°，△AFB为等边三角形.

又G为FB的中点，所以AG⊥FB.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，

所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，

所以AG⊥EF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.　　　　　　　　　　　　　　 　　　(5分)

(Ⅱ)解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，

CD＝2，AB＝4，E、F分别是CD、AB中点，

所以EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF.

因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)

因为Rt△BHG中，BG＝1，∠GBH＝60°，所以GH＝.　　　　　　　　　　　　 (10分)

在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝，所以CG＝1.　　　　　　　　　　　 (11分)

在Rt△CGH中，tan∠CHG＝＝，故二面角C-AB-F的正切值为.　 (12分)

解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，

点B(2，0，0)，A(1，0，)，C(1，1，0).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

因为EF⊥平面ABF，所以＝(0，1，0)为

平面ABF的一个法向量.　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)

设＝(x，y，z)为平面ABCD的法向量，

因为，，

由，，得

，　 即.

令，则，z＝1，所以＝(，，1). 　　　　　　　　　　　　(10分)

所以cos<，>＝＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (11分)

从而tan<，>＝，故二面角C-AB-F的正切值为.　　　　　　 　　(12分)

17.(本小题满分12分)

为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1(单位：米).

(Ⅰ)若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；

(Ⅱ)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元.从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值.

[解](Ⅰ)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5.　　　　　　　　　 (3分)

设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A，则

，所以.　

故所求的概率为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)设任取两根竹竿的价格之和为，则的可能取值为，，20.　　　　 (7分)

其中，，.　 (10分)

所以.　　　　　　　　　　　　　 (11分)

令，得a＝7.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)

16.(本小题满分12分)

己知向量a，b，函数(a·b).

(Ⅰ)求函数f(x)的定义域和值域；

(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.

[解](Ⅰ)因为a·b＝

.　　　　　　　　　　　　　 (2分)

由，得，即，k∈Z.

所以f(x)的定义域是.　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

因为，则，

所以f(x)的值域是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(Ⅱ)由题设.

若f(x)为增函数，则为减函数，所以，即

，故f(x)的递增区间是.　 (9分)

若f(x)为减函数，则为增函数，所以，即

，故f(x)的递减区间是. 　　　(12分)

15.设直角三角形的两直角边的长分别为，斜边长为，斜边上的高为，则有 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：

①；②；③ ；④.

其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是.

[解析]在直角三角形ABC中，，所以.

于是.

.

所以.

14.已知函数，集合M＝，N＝，则集合所表示的平面区域的面积是 π .

[解析]因为，，则，

.所以，.

故集合所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为π.

13.2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 30　 米 .

[解析]设旗杆高为h米，最后一排为点A，

第一排为点B，旗杆顶端为点C，则

.

在△ABC中，，∠CAB＝45°，∠ABC=105°，

所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，，故.

12.已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为　 　4　 　．

[解析]显然函数图象过定点(1，1)，由已知，，即.

.又，故最小值为4.

11.已知曲线C的参数方程为为参数)，直线的极坐标方程为

，设点A为曲线C上任意一点，点B为直线上任意一点，则

A，B两点间的距离的最大值是.

[解析]曲线C的普通方程为，直线的直角坐标方程为.

　所以|AB|的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径，即.

10.已知函数在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是(1，2).

[解析]因为在区间[1，2]上是增函数，所以在区间[1，2]上是增函数，且.于是，且，即.