3． 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则(　 )

A．M一定在直线AC上 　　

B．M一定在直线BD上

C．M可能在AC上，也可能在BD上　　　

D．M不在AC上，也不在BD上

2． 设l、m、n表示三条直线，α、β、r表示三个平面，则下面命题中不成立的是 (　 )

A．若l⊥α，m⊥α，则l∥m

B．若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n

C．若mα，nα，m∥n，则n∥α

D．若α⊥r，β⊥r，则α∥β

1． 若直线a、b异面，直线b、c异面，则a、c的位置关系是　　　　 (　 )

A．异面直线　　　　 B．相交直线

C．平行直线　　　　 D．以上都有可能

4．计算球面上A、B两点的球面距离是一个难点，其关键是利用“AB既是小圆的弦，又是大圆的弦”这一事实，其一般步骤是：

(1) 根据已知条件求出小圆的半径r和大圆的半径R，以及所对小圆圆心角；

(2) 在小圆中，由r和圆心角求出AB；

(3) 在大圆中，由AB和R求出大圆的圆心角；

(4) 由圆心角和R，求出大圆弧长AB (即球面上A、B两点的距离)．

立体几何初步单元测试

3．球心与小圆圆心的连线，垂直于小圆所在的平面，球的内部结构的计算也由此展开．

2．球的轴截面是大圆，它含有球的全部元素，所以有关球的计算，可作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题．

1．因为“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．

3．球的表面积公式和体积公式：设球的半径为R，则球的表面积S＝　　　　　 ；球的体积V＝　　　　 ．

例1. 如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、C两点间的球面距离为，点A与B、C两点的球面距离都为，O为球心，求：

(1) 的大小；　　　　　　　　

(2) 球心O到截面ABC的距离．

解：(1) 因为B、C两点的球面距离为，即B、C两点与球心连线所夹圆心角为，点A与B、C两点的球面距离都为，即均为直角，所以

(2) 因为⊿BOC，⊿ABC都是等腰三角形，取BC的中点M，连OM，AM，过O作OH⊥AM于H，可证得OH即为O到截面ABC的距离．

变式训练1：　 球面上有三点A、B、C，A和B及A和C之间的球面距离是大圆周长的，B和C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的体积．

解：设球心为O，由已知，易得∠AOB＝∠AOC＝，∠BOC＝，过O作OD⊥BC于D，连AD，再过O作OE⊥AD于E，则OE⊥平面ABC于E，∴OE＝. 在Rt△AOD中，由AD·OE＝AO·ODOA＝R＝1.∴ V球＝πR3＝π．

例2. 如图，四棱锥A－BCDE中，，且AC⊥BC，AE⊥BE．

(1) 求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；

(2) 若求B、D两点间的球面距离．

解：(1) 因为AD⊥底面BCDE，所以AD⊥BC，AD⊥BE，又因为AC⊥BC，AE⊥BE，所以BC⊥CD，BE⊥ED．故B、C、D、E四点共圆，BD为此圆的直径．

取BD的中点M，AB的中点N，连接BD、AB的中点MN，则MN∥AD，所以MN⊥底面BCDE，即N的射影是圆的圆心M，有AM＝BM＝CM＝DM＝EM，故五点共球且直径为AB．

(2) 若∠CBE＝90°，则底面四边形BCDE是一个矩形，连接DN，因为：

所以B、D两点间的球面距离是.

变式训练2：过半径为R的球面上一点M作三条两两互相垂直的弦MA、MB、MC．

(1) 求证：MA²+MB²+MC²为定值；

(2) 求△MAB，△MAC，△MBC面积之和的最大值．

解：(1) 易求得MA²+MB²+MC²＝4R^2！

(2) S_△MAB+S_△MAC+S_△MBC＝(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA²+MB²+MC²)＝2R²(当且仅当MA＝MB＝MC时取最大值).

例3.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面(如图)，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(　　 )

A．　　　　　　　　　　

B．

C．　　　　　　　　　　

D．

解：设正四面体为正四面体ABCD，分析截面图可知，截面经过正四面体的一条棱设为CD，又过球心，设截面与棱AB交于E点，则E为AB的中点，易求得截面三角形的面积为，

故选(C)．

变式训练3：已知三棱锥P－ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.

(1) 证明：PC⊥平面PAB；

(2) 求二面角P－AB－C的平面角的余弦值；

(3) 若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.

解 (1) 连结CF，∵PE＝EF＝BC＝AC　 ∴AP⊥PC　 ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF　 ∵AC平面PCF　 ∴PC⊥AB　 ∴PC⊥平面PAB.

(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF　 ∴∠PFC为所求二面角的平面角

设AB＝a, 则PF＝EF＝, CF＝,

∴cos∠PFC＝.

(3) 设PA＝x, 球半径为R　

∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB　

∵4πR²＝12π, ∴R＝, 知△ ABC的外接圆为球之小圆，由x²＝x·2R.

得△ABC的边长为2.

2．球的性质

(1) 用一个平面去截一个球，截面是　　　　　　 ．

(2)球心和截面圆心的连线　　　　　　 于截面．

(3) 球心到截面的距离与球半径及截面的半径有以下关系：　　　　　　　　 ．

(4) 球面被经过球心的平面截得的圆叫　　　　 ．被不经过球心的平面截得的圆叫　　　　　　　　 ．

(5) 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长叫　　　　　　　　　 ．

1．球：与定点的距离　　　　 或　　　　　 定长的点的集合．