3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．

第11课时　　　 球

2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．

1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延．

4．正棱锥的性质：

① 正棱锥各侧棱　　　　 ，各侧面都是　　　 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高　　　　 (它叫做正棱锥的　　　　 )；

② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个　　　　 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个　　　　 三角形．

例1．已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝1，AA₁＝2，

点E为CC₁的中点，点F为BD₁的中点.

⑴ 证明：EF为BD₁与CC₁的公垂线；

⑵ 求点F到面BDE的距离.

答案(1)略；　 (2)

变式训练1：三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝a，

BC、AC、AA₁长均为a，A₁在底面ABC上的射影O在AC上．

⑴ 求AB与侧面AC₁所成的角；

⑵ 若O点恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积．

答案(1) 45°；(2)

例2. 如图，正三棱锥P-ABC中，侧棱PA与底面ABC成60°角．

(1)求侧PAB与底面ABC成角大小；

(2)若E为PC中点，求AE与BC所成的角；

(3)设AB＝，求P到面ABC的距离．

解：(1)；

(2)取PB中点F，连结EF，则∠AEF为所求的角，求得∠AEF＝；

(3)P到平面ABC的距离为．

变式训练2： 四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成的角；

(3)求点E到平面ACD的距离．

答案：(1)易证AO⊥BD，AO⊥OC，∴AO⊥平面BCD；

(2)；(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．

例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝1，∠DAB＝45°；侧面PAD是等腰直角三角形，AP＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．

⑴ 求证：PA⊥BD；

⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值；

⑶ 求直线PD与BC所成的角．

答案：(1)略；(2)；(3)60°

变式训练3：在所有棱长均为a的正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D为BC的中点．

　　 ⑴ 求证：AD⊥BC₁；

⑵ 求二面角A－BC₁－D的大小；

⑶ 求点C到平面ABC₁的距离．

提示：(1)证AD⊥平面BB₁C₁C；(2) arc tan；(3) a．

例4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC₁＝1，M为AB的中点，A₁D＝3DB₁．

(1)求证：平面CMD⊥平面ABB₁A₁；

(2)求点A₁到平面CMD的距离；

(3)求MD与B₁C₁所成角的大小．

提示(1)转证CM⊥平面A₁B；

(2)过A₁作A₁E⊥DM，易知A₁E⊥平面CMD，∴求得A₁E＝1；

(3)异面直线MD与B₁C₁所成的角为

变式训练4：在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AD＝1，AB＝，O为对角线A₁C的中点．

⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小；

⑵ P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD⊥平面A₁CD？并证明你的结论．

答案(1) 30°；(2) 当P为AB的中点时，平面POD⊥平面A₁CD．

柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点．

3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是　　　 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 　　　　，这样的棱锥叫做正棱锥．

2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面　　 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的　　　　 ．

1．定义：如果一个多面体的一个面是　　　　 ，其余各面是有一个公共顶点的　　　　 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的　　　 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的　　　　 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的　　　 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的　　　　　　 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的　　　　　 ．

5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的　　　　 ．

4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体．

3．分类：① 按底面边数可分为　　　　　　　　 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：

棱柱