[例1](1)已知为第四象限角，化简：

(2)已知，化简

(3) tan20°+4sin20°

解：(1)因为为第四象限角

　　 所以原式=

(2)，

所以原式=

　　 (3) tan20°+4sin20°=

=

(另法:可以利用和差化积)

◆思路方法：1.化简的一般原则是:化单角或同角，函数名称少，没有根式，能求值的要求出值；

2．根式形式的三角函数式化简常采用有理化如(1)或升幂公式如(2)

[例2](1)已知sin(x)=，0<x<，求的值。

(2)已知.

解：(1)解法1：∵，∴cos(+x)=sin(-x)

　又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x)

∴=2 cos(-x)=2

解法2：

∴=

(2)解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

即　　　　　　　　　　　　　 ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

　　　　　 故　　　　　　　　　　　　　 ②

由①式和②式得 .因此，

由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得

解得

由

由于，

故在第二象限，于是.

从而

以下同解法一.

◆提炼方法：(1)题：变换角： 及 ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。

(2)题是利用sinα±cosα与sinα、cosα的关系，求出了sinα、cosα；提醒我们解题思路的灵活性。

[例3]若，，求α+2β。

解：∵，

∴

∴，α+2β,

又tan2β=,,

∴α+2β=

◆思路方法：“给值求角分两步”：第一步，求出此角的某一三角函数值；第二步，根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易增解。

[例4]求证：

证：左边=

右边=

所以左边=右边，即等式成立。

◆思路点拨：切化弦,降次.或左右归一.

[研讨.欣赏]在ΔABC中，设tanA+tanC=2tanB,求证cos(B+C-A)=.

　　 证明：

由条件得

而　　 ，

又

而

　cos(B+C-A)=

法2:由tanA+tanC=-2tan(A+c)得tanAtanC=3…

6．切化弦，原式=

法2:=tan60°,原式=

==

2.由已知:,又是锐角三角形,选A; 4.用韦达定理,,求tan(α+β);　 5.

6. 计算=________。

◆简答:1-4.AABA;

5. 已知α+β=，且(tanαtanβ+c)+tanα=0(c为常数)，那么tanβ=______

4. 已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β=(　 )

A、　　　　 B、或　　　 C、或　 D、。

3.已知=2007，则的值为　　　　　　　　　 (　 )

A、2006　　　　 B、2007　　　　　 C、2009　　　　 D、2010

2.锐角三角形的内角、满足，则有　　 (　 )

A.　 B.

C.　　 D.

1.(2006湖北)若ΔABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=　 (　 )

A.　　　　　 B. -　　　　 C. 　　　　　D.-

4.无论是化简还是证明都要注意：

(1)角度的差异与联系;

(2)函数名称间的变换和联系，升降幂，化切为弦是常用手段;

(3)角的范围对三角函数取值、符号的影响；