1．7．1、　 静止流体中的压强

(1)静止流体内部压强的特点

在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。

关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下：

在静止流体中的某点处任取一个长为的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x沿水平方向，坐标轴y沿竖直方向，以分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且以表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以,分别表示对应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：

由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：

即　　　　　　　

注意到，代入上式便得

说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。

(2)静止流体内部压强的大小

若静止流体表面处的压强为P。(通常即为与该流体表面相接触的气体的压强)，流体的密度为，则此流体表面下深度为h处的压强为

由上式可见，在静止流体内部高度差为的两点间的压强差为

1．6．3、稳度

物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。

§1.7　　　 流体静力学

流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流体具有不可压缩的特征。

1．6．2、物体平衡的种类

物体的平衡分为三类：

稳定平衡　　 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。

不稳定平衡　 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。

随遇平衡　　 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。

在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。

1．6．1、重心

物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心是惟一的(我们讨论的都是这种情形)，重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。

求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L，质量分别为的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与相距分别为：

均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。

物体重心(或质心)位置的求法

我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为的两均匀圆球和重量为的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为，系统重心在P点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力R，令达到平衡时有：

∴

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为：

一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：

如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？

解：设整个棒重心离最左端距离为x，则由求质心公式有

若为n段，按上式递推得：

将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：

例、如图1-6-3所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为的小球，均质杆重量为，长度，试求系统的重心位置。

解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行力系；其中

。设重心位置为O，则合力

且即

　 OC=0.53R

1．4．3、有固定转动轴物体的平衡

有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。

§1.5　 一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为

分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。

如平面力系(设在平面内)，则自动满足，则独立的平衡方程为：

这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。

平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。

§1.6　 平衡的稳定性

1．4．2、力偶和力偶矩

一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图1-4-2中即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。

1．4．1、力矩

力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离--力臂(d)。

力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-4-1，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。

力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。

通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1．3．2、推论

物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点(O点)力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。

特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。

§1.4　　 固定转动轴物体的平衡

1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件

几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。

物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。

共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。

或其分量式：

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式(拉密定理)：

1．2．4、空间中力的投影与分解

力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为

这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时

式中为在oxy平面上的投影矢量，而

力沿直角坐标轴的分解式

§1.3共点力作用下物体的平衡